Obtenha a série de Fourier da seguinte função definida no intervalo (0,2 pi)
e f(x)=lll x, & se & 0 possui período f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de Série de Fourier! A questão pede para encontrar a série de Fourier de uma função definida no intervalo (0, 2pi), onde:
f(x) = x, & se 0 < x < pi pi, & se pi < x < 2pi
O conteúdo que vamos usar aqui é a Série de Fourier de uma função periódica, que nos ajuda a representar funções periódicas como a soma de senos e cossenos. Vamos precisar calcular os coeficientes da série para montar a expressão final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Série de Fourier para uma função periódica com período 2pi é dada por:
f(x) = a02 + sumn=1^infty (an cos(nx) + bn sin(nx))
Aqui, a0 é o termo constante, e an, bn são os coeficientes das funções cosseno e seno, respectivamente.

Passo 3

Vamos começar calculando o coeficiente a0, que representa o valor médio da função no intervalo. A fórmula para a0 é:
a0 = 1pi integral0^2pi f(x) , dx
Substituindo a definição de f(x):
a0 = 1pi ( integral0^pi x , dx + integralpi^2pi pi , dx )

Passo 4

Vamos calcular as integrais separadamente:
  1. integral0^pi x , dx = x^22 |0^pi = pi^22
  2. integralpi^2pi pi , dx = pi (2pi - pi) = pi^2
Então,
a0 = 1pi ( pi^22 + pi^2 ) = 1pi ( 3pi^22 ) = 3pi2

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes an para n >= 1. A fórmula é:
an = 1pi integral0^2pi f(x) cos(nx) , dx
Substituindo f(x):
an = 1pi ( integral0^pi x cos(nx) , dx + integralpi^2pi pi cos(nx) , dx )

Passo 6

Vamos calcular cada integral:
  1. integral0^pi x cos(nx) , dx
Usamos integração por partes, onde:
  • u = x Rightarrow du = dx
  • dv = cos(nx) dx Rightarrow v = sin(nx)n
Assim,
integral x cos(nx) , dx = x sin(nx)n - 1n integral sin(nx) , dx = x sin(nx)n + cos(nx)n^2
Avaliado de 0 a pi:
[ pi sin(npi)n + cos(npi)n^2 ] - [ 0 + 1n^2 ] = cos(npi) - 1n^2
  1. integralpi^2pi pi cos(nx) , dx = pi [ sin(nx)n ]pi^2pi = pi ( sin(2npi) - sin(npi)n ) = 0
Porque sin(npi) = 0 e sin(2npi) = 0 para inteiro n.

Passo 7

Então, o coeficiente an fica:
an = 1pi ( cos(npi) - 1n^2 + 0 ) = cos(npi) - 1pi n^2
Sabemos que cos(npi) = (-1)^n, então:
an = (-1)^n - 1pi n^2

Passo 8

Agora, vamos calcular os coeficientes bn. A fórmula é:
bn = 1pi integral0^2pi f(x) sin(nx) , dx
Substituindo f(x):
bn = 1pi ( integral0^pi x sin(nx) , dx + integralpi^2pi pi sin(nx) , dx )

Passo 9

Calculando cada integral:
  1. integral0^pi x sin(nx) , dx
Usamos integração por partes, onde:
  • u = x Rightarrow du = dx
  • dv = sin(nx) dx Rightarrow v = -cos(nx)n
Assim,
integral x sin(nx) , dx = -x cos(nx)n + 1n integral cos(nx) , dx = -x cos(nx)n + sin(nx)n^2
Avaliado de 0 a pi:
[ -pi cos(npi)n + sin(npi)n^2 ] - [ 0 + 0 ] = -pi (-1)^nn
  1. integralpi^2pi pi sin(nx) , dx = pi [ -cos(nx)n ]pi^2pi = pi ( -cos(2npi) - cos(npi)n ) = -pi (1 - (-1)^n)n
Porque cos(2npi) = 1 e cos(npi) = (-1)^n.

Passo 10

Somando as integrais para bn:
bn = 1pi ( -pi (-1)^nn - pi (1 - (-1)^n)n ) = 1pi ( -pi (-1)^n + (-1)^n+1 pin ) = -2 (-1)^nn

Passo 11

Agora, reunindo tudo, a Série de Fourier da função f(x) é:
f(x) = 3pi4 + sumn=1^infty ( (-1)^n - 1pi n^2 cos(nx) - 2 (-1)^nn sin(nx) )

Resposta

A Série de Fourier da função f(x) é:
f(x) = 3pi4 + sumn=1^infty ( (-1)^n - 1pi n^2 cos(nx) - 2 (-1)^nn sin(nx) )

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