Obtenha a série de Fourier da seguinte função definida no intervalo
e possui período .
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de Série de Fourier! A questão pede para encontrar a série de Fourier de uma função definida no intervalo , onde:
O conteúdo que vamos usar aqui é a Série de Fourier de uma função periódica, que nos ajuda a representar funções periódicas como a soma de senos e cossenos. Vamos precisar calcular os coeficientes da série para montar a expressão final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Série de Fourier para uma função periódica com período é dada por:
Aqui, é o termo constante, e , são os coeficientes das funções cosseno e seno, respectivamente.
Passo 3
Vamos começar calculando o coeficiente , que representa o valor médio da função no intervalo. A fórmula para é:
Substituindo a definição de :
Passo 4
Vamos calcular as integrais separadamente:
integralpi^2pi pi , dx = pi (2pi - pi) = pi^2
Então,
a0 = 1pi ( pi^22 + pi^2 ) = 1pi ( 3pi^22 ) = 3pi2
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes an para n >= 1. A fórmula é:
an = 1pi integral0^2pi f(x) cos(nx) , dx
Substituindo f(x):
an = 1pi ( integral0^pi x cos(nx) , dx + integralpi^2pi pi cos(nx) , dx )
Passo 6
Vamos calcular cada integral:
integral0^pi x cos(nx) , dx
Usamos integração por partes, onde:
u = xRightarrowdu = dx
dv = cos(nx) dxRightarrowv = sin(nx)n
Assim,
integral x cos(nx) , dx = x sin(nx)n - 1n integral sin(nx) , dx = x sin(nx)n + cos(nx)n^2