Obtenha as séries de Taylor de cada uma das funções abaixo em torno dos pontos
dados. Descreva a região de convergência.
Passo 1
O exercício pede a série de Taylor de
centrada em
e a região de convergência. O conteúdo aqui é séries de Taylor (expansão em torno de um ponto) e vamos usar identidades trigonométricas junto com a série de Maclaurin de
.
Passo 2
A série de Taylor de uma função
em torno de
é dada por
Podemos calcular derivadas de
em
, mas existe um atalho usando identidades trigonométricas.
Passo 3
Definimos
. Então
Ou seja,
.
Passo 4
Agora usamos a série de Maclaurin de
:
Substituindo
e multiplicando por
, obtemos
Passo 5
Como
é uma função inteira (holomorfa em todo o plano), sua série de Taylor converge para todo
.
Passo 6
Portanto, a região de convergência é o plano inteiro (raio de convergência infinito).