Obtenha as séries de Taylor de cada uma das funções abaixo em torno dos pontos z0 dados. Descreva a região de convergência.
cos (z) ; z0=pi / 2

Passo 1

O exercício pede a série de Taylor de cos(z) centrada em z0=pi/2 e a região de convergência. O conteúdo aqui é séries de Taylor (expansão em torno de um ponto) e vamos usar identidades trigonométricas junto com a série de Maclaurin de sin.

Passo 2

A série de Taylor de uma função f(z) em torno de z0 é dada por
f(z)=sumn=0^inftyf^(n)(z0)n!(z-z0)^n
Podemos calcular derivadas de cos(z) em z0, mas existe um atalho usando identidades trigonométricas.

Passo 3

Definimos w=z-pi/2. Então
cos(z)=cosl(tfracpi2+wr)=costfracpi2cos w-sintfracpi2sin w=0cdotcos w-1cdotsin w=-sin w
Ou seja, cos(z)=-sin(z-pi/2).

Passo 4

Agora usamos a série de Maclaurin de sin w:
sin w=sumn=0^infty(-1)^nw^2n+1(2n+1)!
Substituindo w=z-pi/2 e multiplicando por -1, obtemos
cos(z)=-sumn=0^infty(-1)^n(z-pi/2)^2n+1(2n+1)!= sumn=0^infty(-1)^n+1(z-pi/2)^2n+1(2n+1)!

Passo 5

Como cos(z) é uma função inteira (holomorfa em todo o plano), sua série de Taylor converge para todo zinC.

Passo 6

Portanto, a região de convergência é o plano inteiro (raio de convergência infinito).

Resposta

cos(z)=sumn=0^infty(-1)^n+1(z-pi/2)^2n+1(2n+1)!,convergindo para todo zinC

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