Obtenha a SF para
onde
para todo
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma função $ f(x) $ definida por partes no intervalo de $ 0 $ a $ 2\pi $ e que se repete a cada $ 2\pi $. O objetivo é encontrar a Série de Fourier dessa função. Para isso, vamos precisar dos conceitos básicos de séries de Fourier, que nos permitem representar funções periódicas como somas de senos e cossenos.
Passo 2
Como a função $ f(x) $ é ímpar (pois $ f(-x) = -f(x) $) e tem período $ 2\pi $, a Série de Fourier dela será composta apenas por termos de seno. A fórmula geral para a Série de Fourier de uma função ímpar é:
Passo 3
Para encontrar os coeficientes $ b_n $, usamos a fórmula:
Vamos calcular esse coeficiente para nossa função $ f(x) $.
Passo 4
Dividimos a integral em dois intervalos, conforme a definição de $ f(x) $:
Passo 5
Vamos simplificar as integrais. Usando a identidade do produto de senos:
Aplicamos isso nas duas integrais:
Passo 6
Calculamos cada uma das integrais resultantes. Isso envolve integrar funções cosseno com argumentos lineares em $ x $, o que nos dá funções seno, divididas pelos coeficientes das variáveis nos argumentos.
Após realizar os cálculos, observamos que apenas os termos ímpares de $ n $ contribuem para a série devido à simetria da função original.
Passo 7
Finalmente, resumindo todos os passos, a Série de Fourier da função $ f(x) $ é dada por:
Resposta
A Série de Fourier da função $ f(x) $ é: