Obtenha a SF para
f(x)= sen(x2) & se 0 <= x <= pi, -sen(x2) & se pi
onde f(x)=f(x+2 pi) para todo x in R.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma função $ f(x) $ definida por partes no intervalo de $ 0 $ a $ 2\pi $ e que se repete a cada $ 2\pi $. O objetivo é encontrar a Série de Fourier dessa função. Para isso, vamos precisar dos conceitos básicos de séries de Fourier, que nos permitem representar funções periódicas como somas de senos e cossenos.

Passo 2

Como a função $ f(x) $ é ímpar (pois $ f(-x) = -f(x) $) e tem período $ 2\pi $, a Série de Fourier dela será composta apenas por termos de seno. A fórmula geral para a Série de Fourier de uma função ímpar é:
f(x)

Passo 3

Para encontrar os coeficientes $ b_n $, usamos a fórmula:
bn
Vamos calcular esse coeficiente para nossa função $ f(x) $.

Passo 4

Dividimos a integral em dois intervalos, conforme a definição de $ f(x) $:
f(x)

Passo 5

Vamos simplificar as integrais. Usando a identidade do produto de senos:
sin A sin B = 12 [cos(A - B) - cos(A + B)]
Aplicamos isso nas duas integrais:
bn = 12pi ( integral0^pi [cos(x2 - nx) - cos(x2 + nx)] dx - integralpi^2pi [cos(x2 - nx) - cos(x2 + nx)] dx )

Passo 6

Calculamos cada uma das integrais resultantes. Isso envolve integrar funções cosseno com argumentos lineares em $ x $, o que nos dá funções seno, divididas pelos coeficientes das variáveis nos argumentos.
Após realizar os cálculos, observamos que apenas os termos ímpares de $ n $ contribuem para a série devido à simetria da função original.

Passo 7

Finalmente, resumindo todos os passos, a Série de Fourier da função $ f(x) $ é dada por:
f(x)

Resposta

A Série de Fourier da função $ f(x) $ é:
f(x)

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