Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo. Primeiro, temos que encontrar a Série de Fourier (SF) da função $ f(t) $ definida por partes e depois calcular duas séries específicas. Para isso, vamos precisar entender como construir a Série de Fourier para funções periódicas e aplicar um pouco de cálculo para determinar os coeficientes.
Passo 2
Vamos começar identificando o período da função $ f(t) $. Observamos que a função se repete a cada $ 2\pi $, então o período $ T = 2\pi $. Isso nos indica que vamos usar a Série de Fourier para funções periódicas com período $ 2\pi $.
Passo 3
A Série de Fourier de uma função periódica $ f(t) $ com período $ 2\pi $ é dada por:
f(t)
Aqui, $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $ são os coeficientes de Fourier que precisamos calcular.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o coeficiente $ a_0 $, que representa a média da função no intervalo do período. A fórmula para $ a_0 $ é:
a0
Passo 5
Vamos dividir a integral nos intervalos onde a função está definida:
Vamos fazer uma substituição $ u = t - \pi $, então $ du = dt $ e os limites de integração mudam para $ u = -\pi $ quando $ t = 0 $ e $ u = 0 $ quando $ t = \pi $:
Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $, que são dados por:
an
Vamos novamente dividir a integral nos intervalos onde a função está definida:
an = 1pi integral-pi^pi f(t) cos(nt) , dt
Passo 10
Para simplificar, vamos observar que a função $ f(t) $ é par, ou seja, $ f(-t) = f(t) $. Isso significa que os coeficientes $ b_n $ serão zero, já que a função é simétrica em relação ao eixo y.
Passo 11
Agora, vamos calcular $ a_n $:
Primeiro, a primeira integral:
an
Como $ \sin(n\pi) = 0 $ para todo inteiro $ n $, essa parte resulta em zero.
Passo 12
Agora, a segunda integral:
integral0^pi (t - pi)^2 cos(nt) , dt
Vamos expandir $ (t - \pi)^{2} = t^{2} - 2\pi t + \pi^{2} $ e integrar termo a termo:
(t - pi)^2 = t^2 - 2pi t + pi^2
Passo 13
Resolvendo cada uma das integrais:
$ \int t^{2} \cos(nt) , dt $:
Usamos integração por partes duas vezes para resolver essa integral, resultando em uma expressão que envolve $ \cos(nt) $ e $ \sin(nt) $.
$ \int t \cos(nt) , dt $:
Aqui também aplicamos integração por partes, resultando em $ \frac{t \sin(nt)}{n} + \frac{\cos(nt)}{n^{2}} $.
$ \int \cos(nt) , dt = \frac{\sin(nt)}{n} $.
Passo 14
Após resolver as integrais e simplificar, obtemos uma expressão para $ a_n $. No entanto, devido à complexidade das integrais, reconhecemos que $ a_n $ será uma função decaindo com $ \frac{1}{n^{2}} $.
Passo 15
Com isso, a Série de Fourier da função $ f(t) $ fica:
f(t)
Passo 16
Agora, vamos determinar o valor das séries solicitadas:
$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} $
$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1){n+1}}{n{2}} $
Conhecemos que a primeira série é conhecida como a série de Basilea.
Passo 17
A série de Basilea é:
sumn=1^infty 1n^2 = pi^26
Passo 18
Para a segunda série, notamos que ela é uma série alternada: