Resolva as equações diferenciais a seguir
(4+x^0) d yd x+2 alpha y=4 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
(4 + x^0)dydx + 2alpha,y = 4x
Aqui usamos que x^0 = 1, então é uma ODE linear de 1ª ordem com coeficientes constantes e vamos aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo 4 + x^0. Como x^0=1, temos
4 + x^0 = 4 + 1 = 5
Logo a equação vira
5dydx + 2alpha,y = 4x

Passo 3

Dividimos tudo por 5 para obter a forma padrão dydx+P(x)y=Q(x):
dydx + 2alpha5y = 45x
Aqui P(x)=tfrac2alpha5 e Q(x)=tfrac45x.

Passo 4

O fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 2alpha5dx = e^2alpha5x
Multiplicando a equação padrão por mu(x) temos
e^2alpha5xdydx + 2alpha5e^2alpha5xy = 45x e^2alpha5x
E o lado esquerdo é ddx[e^2alpha5xy].

Passo 5

Integrando ambos os lados:
ddxl(e^2alpha5xyr) = 45x e^2alpha5x
e^2alpha5xy = integral 45x e^2alpha5xdx + C
Para calcular
integral x e^kxdx = e^kxl(xk-1k^2r), k=2alpha5,
podemos fatorar 4/5 e achar
integral 45x e^kxdx = e^kxl(2xalpha-5alpha^2r)

Passo 6

Voltando para y, isolamos:
y = e^-kxl[e^kxl(2xalpha-5alpha^2r)+Cr] = 2xalpha-5alpha^2 + Ce^-2alpha5x

Resposta

y(x)=\frac{2x}{\alpha}-\frac{5}{\alpha2}+Ce{-\tfrac{2\alpha}{5}x}

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