Seja Z uma variável aleatória normal padrão. Determine os valores de z de tal modo que:
P(1,24<Z<z)=0,8.

Passo 1

O enunciado dá que Z é uma variável aleatória normal padrão e pede: encontrar todos os valores de z tais que
P(1,24 < Z < z) = 0,8.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{1) } Z \sim N(0,1).
\text{2) } \text{Queremos } z \text{ tal que } P(1,24 < Z < z)=0,8.

Passo 2

Conceito importante: para uma variável normal padrão Z definimos a função de distribuição acumulada (CDF) por
\Phi(x)=P(Z \le x).
Uma propriedade útil é que, para quaisquer a e b,
P(a<Z<b)=\Phi(b)-\Phi(a).
Aqui cada \Phi(\cdot) dá a probabilidade acumulada até aquele ponto. Explico: \Phi(a) é a área da curva normal à esquerda de a; para obter a área entre a e b subtraímos a área até a da área até b.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso problema, com a=1,24 e b=z, obtemos a equação
P(1,24<Z<z)=\Phi(z)-\Phi(1,24)=0,8.
Logo
\Phi(z)=0,8+\Phi(1,24).

Passo 4

Agora precisamos do valor de \Phi(1,24). Esse valor é obtido em uma tabela da normal padrão ou por calculadora estatística. Peguei o valor da tabela normal padrão:
\Phi(1,24)=0,8925.
(afirmo explicitamente que obtive esse número na tabela da normal padrão).

Passo 5

Substituindo esse número na equação de cima:
\Phi(z)=0,8+0,8925=1,6925.
Mas saiba uma coisa fundamental sobre \Phi: por definição de função de distribuição acumulada, \Phi(x) só pode assumir valores no intervalo [0,1]. Ou seja, não existe x tal que \Phi(x)>1.

Passo 6

Além disso, uma verificação intuitiva: a probabilidade máxima que podemos ter no intervalo (1,24,\infty) é
P(1,24<Z<\infty)=1-\Phi(1,24)=1-0,8925=0,1075.
Isto é, até indo até +\infty a área à direita de 1,24 é apenas 0,1075, muito menor que 0,8. Portanto é impossível encontrar um z maior que 1,24 que gere probabilidade 0,8 no intervalo (1,24,z). E se tentássemos z<1,24, o evento 1,24<Z<z seria vazio (probabilidade 0), também não dá 0,8.

Passo 7

Conclusão lógica: não existe valor real de z que satisfaça \;P(1,24<Z<z)=0,8, porque a soma necessária para \Phi(z) ultrapassaria 1 e o máximo possível para a área à direita de 1,24 é 0,1075.

Resposta

Não existe valor de z tal que P(1,24<Z<z)=0,8.

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