Resolva a equação diferencial
(x^4 e^x y+3 x y^2) d y+(y x^3 e^x y-2 y^3) d x=0, x>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem: l(x^4e^xy+3xy^2r)dy + l(yx^3e^xy-2y^3r)dx = 0, que envolve testar exatidão e, se necessário, encontrar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro escrevemos no formato padrão M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0. Aqui M(x,y)=yx^3e^xy-2y^3 e N(x,y)=x^4e^xy+3xy^2. Para ver se é exata, calculamos as derivadas parciais:
  • partial M/partial y = x^3e^xy + x^4y e^xy -6y^2.
  • partial N/partial x = 4x^3e^xy + x^4y e^xy +3y^2.
    Como partial M/partial y neq partial N/partial x, não é exata. Procuramos então um fator integrante que seja função só de x.

Passo 3

Usamos a fórmula mu(x)=expl(integral[partial M/partial y - partial N/partial x]/N,dxr), que dá aqui
partial M/partial y - partial N/partial xN = -3x,
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mu(x) = e^integral -3/x,dx = x^-3

Passo 4

Multiplicando toda a equação por x^-3 obtemos a forma exata com:
M^*(x,y)=yx^3e^xycdot x^-3-2y^3x^-3=ye^xy-2y^3x^3,
N^*(x,y)=l(x^4e^xy+3xy^2r)x^-3=xe^xy+3y^2x^2

Passo 5

Agora existe uma função potencial phi(x,y) tal que phix=M^* e phiy=N^*. Integramos phix=ye^xy-2y^3x^-3 em relação a x:
phi(x,y)=e^xy+y^3x^-2+h(y),

Passo 6

em que h(y) é função arbitrária. Diferenciando em relação a y e igualando a phiy=xe^xy+3y^2x^-2 determina-se h'(y)=0, ou seja, h constante.
A solução geral fica então dada pela relação implícita phi(x,y)=C.

Resposta

e^xy+y^3x^2=C

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