Obtenha uma solução geral de cada EDO homogênea a seguir.
y^prime prime+2,4 y^prime+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes y'' + 2,4,y' + 4,y = 0. O conteúdo da matéria é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, e vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y(x) = e^r x. Substituindo na equação, obtemos o polinômio característico:
r^2 + 2,4,r + 4 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante da equação quadrática. Lembrando que a=1, b=2,4 e c=4:
De
Como De, teremos raízes complexas conjugadas.

Passo 4

Encontramos as raízes usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizDe

Passo 5

Para raízes complexas r = alpha pm ibeta, a solução geral é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r)
Aqui alpha = -1,2 e beta = 1,6.

Resposta

y(x) = e^-1,2,xl(C1cos(1,6,x) + C2sin(1,6,x)r)

Exercícios relacionados