Dada as funções seguintes, classifique-as em: I) injetora III) bijetora II) sobrejetora IV) não é injetora nem sobrejetora e) n: N N n(x)= x & se x é par x+12 & se x é ímpar ééí

Passo 1

O enunciado pede para a gente classificar a função n: N to N dada por
n(x)= x & se $x$ é par, x+12 & se $x$ é ímpar ééí
O conteúdo envolve verificar injetividade (função um-a-um) e sobrejetividade (função sobre) de funções entre conjuntos discretos.

Passo 2

Para checar sobrejetividade, precisamos mostrar que para todo yinN existe xinN tal que n(x)=y.
Basta escolher x=2y-1, que é ímpar. Então
n(2y-1)=(2y-1)+12=2y2=y,
logo qualquer y em N tem um antecessor. Isso prova que n é sobrejetora.

Passo 3

Para checar injetividade, precisamos ver se nunca há x1neq x2 com n(x1)=n(x2).
Considere um valor k par. Então
n(k)=k
e também, tomando x=2k-1 (que é ímpar), temos
n(2k-1)=(2k-1)+12=k
Mas kneq 2k-1, então dois valores distintos dão a mesma imagem, ou seja, n não é injetora.

Passo 4

Resumindo, n é sobrejetora (todo elemento da imagem tem pelo menos um antecessor) mas não é injetora (há colisões como mostramos).

Resposta

II) sobrejetora

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