Resolva os seguintes problemas de valor inicial baseados em EDO’s Exatas:
(e^x+y) d x+(x+ln y) d y=0, y(1)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(e^x+yr),dx + l(x+ln yr),dy = 0
com condição inicial y(1)=1.
Isso é uma EDO exata, pois vamos ver que existe uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x=e^x+y, partial Psipartial y=x+ln y

Passo 2

Para verificar a exatidão calculamos
partialpartial yl(e^x+yr)=1, partialpartial xl(x+ln yr)=1
Como ambas derivadas coincidem, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos Psi(x,y) integrando M(x,y)=e^x+y em relação a x:
Psi(x,y)=integrall(e^x+yr),dx =e^x + x,y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração em função de y.

Passo 4

Agora impomos
partial Psipartial y =x + h'(y) overset!=x+ln y,
logo h'(y)=ln y. Integramos em y:
h(y)=integral ln y,dy = yln y - y
Logo
Psi(x,y)=e^x + x,y + yln y - y

Passo 5

A solução geral implícita é
Psi(x,y)=C Longrightarrow e^x + x,y + yln y - y = C
Usando y(1)=1 obtemos
C = e^1 + 1cdot1 + 1ln1 - 1 = e + 1 + 0 - 1 = e
Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é
e^x + x,y + yln y - y = e

Resposta

e^x + x,y + yln y - y = e

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