Inicialmente, uma localidade possui 5000 habitantes. Em dois anos, a população chegou a 7500 habitantes. Quanto tempo será necessário para dobrar o valor da população inicial?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma cidade que inicialmente tem 5000 habitantes. Depois de 2 anos, essa população aumentou para 7500 habitantes. O que a gente quer descobrir é quanto tempo vai levar para a população dobrar, ou seja, passar de 5000 para 10000 habitantes.
Para resolver isso, vamos usar um pouco de matemática que envolve crescimento exponencial. Basicamente, vamos calcular a taxa de crescimento da população e depois ver quanto tempo leva para essa taxa fazer a população dobrar.
Passo 2
Vamos começar identificando os valores que já conhecemos:
- População inicial ($ P_0 $): 5000 habitantes
- População após 2 anos ($ P $): 7500 habitantes
- Tempo ($ t $): 2 anos
A fórmula para o crescimento exponencial é:
Onde:
- $ P $ é a população após o tempo $ t $
- $ P_0 $ é a população inicial
- $ k $ é a taxa de crescimento
- $ e $ é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,718)
Passo 3
Vamos usar a fórmula para encontrar a taxa de crescimento $ k $. Substituindo os valores que conhecemos:
Dividindo ambos os lados por 5000 para isolar a parte com $ k $:
Passo 4
Para resolver para $ k $, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação:
Agora, isolando $ k $:
Calculando o valor de $ \ln(1,5) $:
Passo 5
Agora que temos a taxa de crescimento $ k $, vamos encontrar o tempo necessário para a população dobrar, ou seja, quando $ P = 10000 $.
Usamos novamente a fórmula do crescimento exponencial:
Dividindo ambos os lados por 5000:
Passo 6
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados para resolver para $ t $:
Isolando $ t $:
Substituindo o valor de $ k $ que encontramos:
Calculando os valores:
Resposta
Será necessário aproximadamente 3,42 anos para a população inicial de 5000 habitantes dobrar, alcançando 10000 habitantes.