Inicialmente, uma localidade possui 5000 habitantes. Em dois anos, a população chegou a 7500 habitantes. Quanto tempo será necessário para dobrar o valor da população inicial?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma cidade que inicialmente tem 5000 habitantes. Depois de 2 anos, essa população aumentou para 7500 habitantes. O que a gente quer descobrir é quanto tempo vai levar para a população dobrar, ou seja, passar de 5000 para 10000 habitantes.
Para resolver isso, vamos usar um pouco de matemática que envolve crescimento exponencial. Basicamente, vamos calcular a taxa de crescimento da população e depois ver quanto tempo leva para essa taxa fazer a população dobrar.

Passo 2

Vamos começar identificando os valores que já conhecemos:
  • População inicial ($ P_0 $): 5000 habitantes
  • População após 2 anos ($ P $): 7500 habitantes
  • Tempo ($ t $): 2 anos
A fórmula para o crescimento exponencial é:
P0
Onde:
  • $ P $ é a população após o tempo $ t $
  • $ P_0 $ é a população inicial
  • $ k $ é a taxa de crescimento
  • $ e $ é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,718)

Passo 3

Vamos usar a fórmula para encontrar a taxa de crescimento $ k $. Substituindo os valores que conhecemos:
k
Dividindo ambos os lados por 5000 para isolar a parte com $ k $:
7500 = 5000 times e^2k
k

Passo 4

Para resolver para $ k $, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação:
k
Agora, isolando $ k $:
ln(1,5) = 2k
Calculando o valor de $ \ln(1,5) $:
k

Passo 5

Agora que temos a taxa de crescimento $ k $, vamos encontrar o tempo necessário para a população dobrar, ou seja, quando $ P = 10000 $.
Usamos novamente a fórmula do crescimento exponencial:
k
Dividindo ambos os lados por 5000:
P = 10000

Passo 6

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados para resolver para $ t $:
t
Isolando $ t $:
ln(2) = kt
Substituindo o valor de $ k $ que encontramos:
t
Calculando os valores:
t = ln(2)k
k

Resposta

Será necessário aproximadamente 3,42 anos para a população inicial de 5000 habitantes dobrar, alcançando 10000 habitantes.

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