obtenha a solução geral para a equação.
\frac{d y}{d x}=x^{2} e^{-4 x}-4 y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária de primeira ordem
\frac{dy}{dx}=x^{2}e^{-4x}-4y.
O que nos foi dado:
  • A equação diferencial em forma explícita para \dfrac{dy}{dx}.
  • Não há condição inicial; portanto queremos a solução geral com uma constante arbitrária.

Passo 2

Primeiro vou colocar a equação na forma linear padrão \dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x). Reescrevendo a equação original obtemos
\frac{dy}{dx}+4y = x^{2}e^{-4x}.
Aqui identificamos explicitamente:
  • P(x)=4,
  • Q(x)=x^{2}e^{-4x}.

Passo 3

Vou usar o método do fator integrante (método padrão para equações lineares de primeira ordem). Ideia principal (explicação didática):
  • Para uma equação da forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x), multiplica-se por um fator \mu(x) tal que o lado esquerdo vire a derivada do produto \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y\big).
  • Esse \mu(x) é chamado fator integrante e satisfaz
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
Isso funciona porque, pela regra do produto,
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu\frac{dy}{dx}+y\frac{d\mu}{dx},
e se tomarmos \dfrac{d\mu}{dx}=\mu P(x) a expressão coincide com \mu\big(\dfrac{dy}{dx}+P(x)y\big).

Passo 4

Calculo o fator integrante para P(x)=4:
\mu(x)=e^{\int 4\,dx}=e^{4x}.
Expliquei: integrar 4 em relação a x 4x, e exponenciando obtemos e^{4x}. Note que \mu(x)>0 sempre.

Passo 5

Multiplico a equação \dfrac{dy}{dx}+4y=x^{2}e^{-4x} por \mu(x)=e^{4x}:
e^{4x}\frac{dy}{dx}+4e^{4x}y = e^{4x}\cdot x^{2}e^{-4x}.
No lado direito e^{4x}\cdot e^{-4x}=e^{0}=1, então o lado direito simplifica para x^{2}. No lado esquerdo, pela construção do fator integrante, temos exatamente
\frac{d}{dx}\big(e^{4x}y\big)=x^{2}.
Aqui usei a regra do produto e o fato de que \dfrac{d}{dx}(e^{4x})=4e^{4x}.

Passo 6

Integro ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{4x}y\big)\,dx = \int x^{2}\,dx.
O lado esquerdo fica e^{4x}y (integração da derivada retorna a função), e o lado direito é uma integral polinomial simples:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C,
onde C é a constante de integração arbitrária. Portanto obtemos a relação
e^{4x}y = \frac{x^{3}}{3}+C.

Passo 7

Agora basta isolar y. Dividindo ambos os lados por e^{4x} (que nunca é zero) obtemos a solução geral. (A expressão final será colocada somente na seção de resposta conforme solicitado.)

Resposta

y=e^{-4x}\!\left(\frac{x^{3}}{3}+C\right)=\frac{x^{3}}{3}e^{-4x}+Ce^{-4x},
onde C é a constante arbitrária.

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