obtenha a solução geral para a equação.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária de primeira ordem
O que nos foi dado:
- A equação diferencial em forma explícita para
. - Não há condição inicial; portanto queremos a solução geral com uma constante arbitrária.
Passo 2
Primeiro vou colocar a equação na forma linear padrão
. Reescrevendo a equação original obtemos
Aqui identificamos explicitamente:
-
, -
.
Passo 3
Vou usar o método do fator integrante (método padrão para equações lineares de primeira ordem). Ideia principal (explicação didática):
- Para uma equação da forma
, multiplica-se por um fator tal que o lado esquerdo vire a derivada do produto . - Esse
é chamado fator integrante e satisfaz
Isso funciona porque, pela regra do produto,
e se tomarmos
a expressão coincide com
.
Passo 4
Calculo o fator integrante para
:
Expliquei: integrar
em relação a
dá
, e exponenciando obtemos
. Note que
sempre.
Passo 5
Multiplico a equação
por
:
No lado direito
, então o lado direito simplifica para
. No lado esquerdo, pela construção do fator integrante, temos exatamente
Aqui usei a regra do produto e o fato de que
.
Passo 6
Integro ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo fica
(integração da derivada retorna a função), e o lado direito é uma integral polinomial simples:
onde
é a constante de integração arbitrária. Portanto obtemos a relação
Passo 7
Agora basta isolar
. Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero) obtemos a solução geral. (A expressão final será colocada somente na seção de resposta conforme solicitado.)
Resposta
onde
é a constante arbitrária.