obtenha a solução geral para a equação.
’
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede a solução geral
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é a função
de . - A equação envolve termos com divisão por
, logo devemos ter ; a solução será válida em intervalos onde não muda de sinal (por exemplo ou ). - Queremos a solução geral (com a constante de integração).
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem: isolar
dividindo por
(lembre que isso exige
). Fazendo isso obtemos
Aqui a equação está na forma
com
e
.
Explicação didática do método que vamos usar (fácil e muito útil na prova): para uma equação linear de primeira ordem
define-se o fator integrante
. Multiplicando a equação por
obtemos uma expressão que é a derivada de
:
Assim basta integrar o lado direito e dividir por
. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular o fator integrante
:
Em cada intervalo onde
tem sinal fixo (por exemplo
ou
) podemos usar
(o sinal absoluto pode ser absorvido na constante de integração). Para ficar concreto, vamos usar
.
Passo 4
Multiplicando a equação padrão por
obtemos
O lado esquerdo é exatamente a derivada de
. Logo
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Agora calculamos as integrais separadamente.
Para
usamos integração por partes. Escolhemos
e
. Então
e
. Assim
Para
temos
Portanto a primitiva do integrando é
Incluindo a constante:
Passo 6
Isolamos
dividindo por
(novamente lembrando
):
Agora simplificamos termo a termo:
Aqui
é a parte geral com a constante arbitrária
. Esta expressão é a solução geral válida em qualquer intervalo onde
mantém o mesmo sinal (por exemplo
ou
).