obtenha a solução geral para a equação.
x \frac{d y}{d x}+3\left(y+x^{2}\right)=\frac{\operatorname{sen} x}{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x \frac{dy}{dx} + 3\bigl(y + x^{2}\bigr) = \frac{\sin x}{x},
e pede a solução geral y(x). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é a função y de x.
  • A equação envolve termos com divisão por x, logo devemos ter x\neq 0; a solução será válida em intervalos onde x não muda de sinal (por exemplo x>0 ou x<0).
  • Queremos a solução geral (com a constante de integração).

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem: isolar \dfrac{dy}{dx} dividindo por x (lembre que isso exige x\neq 0). Fazendo isso obtemos
\frac{dy}{dx} + \frac{3}{x}\,y = \frac{\sin x}{x^{2}} - 3x.
Aqui a equação está na forma
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x),
com P(x)=\dfrac{3}{x} e Q(x)=\dfrac{\sin x}{x^{2}}-3x.
Explicação didática do método que vamos usar (fácil e muito útil na prova): para uma equação linear de primeira ordem \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) define-se o fator integrante \mu(x)=\exp\!\bigl(\int P(x)\,dx\bigr). Multiplicando a equação por \mu obtemos uma expressão que é a derivada de \mu(x)y(x):
\frac{d}{dx}\bigl(\mu(x)\,y(x)\bigr)=\mu(x)\,Q(x).
Assim basta integrar o lado direito e dividir por \mu. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{3}{x}\,dx\right)=\exp\!\bigl(3\ln|x|\bigr)=|x|^{3}.
Em cada intervalo onde x tem sinal fixo (por exemplo x>0 ou x<0) podemos usar \mu(x)=x^{3} (o sinal absoluto pode ser absorvido na constante de integração). Para ficar concreto, vamos usar \mu(x)=x^{3}.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por x^{3} obtemos
x^{3}\frac{dy}{dx} + 3x^{2}y = x^{3}\!\left(\frac{\sin x}{x^{2}} - 3x\right).
O lado esquerdo é exatamente a derivada de x^{3}y. Logo
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}y\bigr)=x^{3}\!\left(\frac{\sin x}{x^{2}} - 3x\right).
Simplificando o lado direito:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}y\bigr)=x\sin x - 3x^{4}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^{3}y = \int\bigl(x\sin x - 3x^{4}\bigr)\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Agora calculamos as integrais separadamente.
Para \displaystyle \int x\sin x\,dx usamos integração por partes. Escolhemos u=x e dv=\sin x\,dx. Então du=dx e v=-\cos x. Assim
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx = -x\cos x + \sin x.
Para \displaystyle \int 3x^{4}\,dx temos
\int 3x^{4}\,dx = 3\cdot\frac{x^{5}}{5}=\frac{3}{5}x^{5}.
Portanto a primitiva do integrando é
\int\bigl(x\sin x - 3x^{4}\bigr)\,dx = -x\cos x + \sin x - \frac{3}{5}x^{5}.
Incluindo a constante:
x^{3}y = -x\cos x + \sin x - \frac{3}{5}x^{5} + C.

Passo 6

Isolamos y dividindo por x^{3} (novamente lembrando x\neq 0):
y = \frac{-x\cos x + \sin x - \tfrac{3}{5}x^{5} + C}{x^{3}}.
Agora simplificamos termo a termo:
y = -\frac{\cos x}{x^{2}} + \frac{\sin x}{x^{3}} - \frac{3}{5}x^{2} + \frac{C}{x^{3}}.
Aqui \dfrac{C}{x^{3}} é a parte geral com a constante arbitrária C. Esta expressão é a solução geral válida em qualquer intervalo onde x mantém o mesmo sinal (por exemplo x>0 ou x<0).

Resposta

y(x) = -\dfrac{\cos x}{x^{2}} + \dfrac{\sin x}{x^{3}} - \dfrac{3}{5}\,x^{2} + \dfrac{C}{x^{3}}

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