Obtenha a solução geral das equações relativas ao sistema massa-mola abaixo. Considere omega0^2=k / m.
Vibrações Livres, não amortecidas:
m u^prime prime+k u=0 ;

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem que descreve vibrações livres não amortecidas de um sistema massa-mola. O conteúdo envolve equações diferenciais lineares de coeficientes constantes e vamos precisar usar o método de equação característica.

Passo 2

Começamos por colocar a equação na forma padrão. Dividindo tudo por m e usando omega0^2 = k/m obtemos:
u'' + omega0^2 ,u = 0
Para resolver, assumimos uma solução do tipo u(t)=e^rt. Substituindo na equação padrão gera a equação característica:
r^2 + omega0^2 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação característica temos raízes complexas conjugadas:
r = pm i,omega0
Esse resultado indica oscilações harmônicas.

Passo 4

Com raízes pm i,omega0, a solução geral da equação diferencial é dada pela combinação linear de seno e cosseno:
$$
u(t)=C_1\cos\bigl(\omega_0 t\bigr)+C_2\sin\bigl(\omega_0 t\bigr)$$
Aqui u(t)=C1cosl(omega0 tr)+C2sinl(omega0 tr) e C1 são constantes de integração determinadas pelas condições iniciais do sistema.

Resposta

u(t)=C1cos(omega0 t)+C2sin(omega0 t)

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