Obtenha a solução geral das equações relativas ao sistema massa-mola abaixo. Considere
.
Vibrações Livres, não amortecidas:
Vibrações Livres, não amortecidas:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem que descreve vibrações livres não amortecidas de um sistema massa-mola. O conteúdo envolve equações diferenciais lineares de coeficientes constantes e vamos precisar usar o método de equação característica.
Passo 2
Começamos por colocar a equação na forma padrão. Dividindo tudo por
e usando
obtemos:
Para resolver, assumimos uma solução do tipo
. Substituindo na equação padrão gera a equação característica:
Passo 3
Resolvendo a equação característica temos raízes complexas conjugadas:
Esse resultado indica oscilações harmônicas.
Passo 4
Com raízes
, a solução geral da equação diferencial é dada pela combinação linear de seno e cosseno:
$$
u(t)=C_1\cos\bigl(\omega_0 t\bigr)+C_2\sin\bigl(\omega_0 t\bigr)$$
Aqui e
são constantes de integração determinadas pelas condições iniciais do sistema.
Aqui