Use, se possível, a Regra de L’Hospital para calcular os limites abaixo:

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxtoinftyl(1+tfrac10xr)^x. O conteúdo envolvido são limites de formas indeterminadas exponenciais e a aplicação da regra de L’Hospital para encontrar o expoente. Vamos reescrever a expressão de forma a identificar uma forma 0/0 ou infty/infty.

Passo 2

Reescrevemos o limite como uma exponencial: primeiro notamos que
limxtoinftyl(1+tfrac10xr)^x = expl(limxtoinftyxlnl(1+tfrac10xr)r)
Precisamos então calcular o limite do expoente L=limxtoinftyxln(1+10/x). Observe que
$$
L = \lim_{x\to\infty}\frac{\ln\bigl(1+\tfrac{10}{x}\bigr)}{1/x},
$$que é uma forma indeterminada L = limxtoinftylnl(1+tfrac10xr)1/x, . Aplicando a regra de L’Hospital, derivamos numerador e denominador em relação a 0/0:
x
num' = ddxlnl(1+tfrac10xr) = 11+10/xcdotl(-tfrac10x^2r) = -10x^2+10x,
O quociente das derivadas é
den' = ddxl(1/xr)= -1x^2
Tomando -10/(x^2+10x)-1/x^2 = 10x^2x^2+10x = 101+10/x, esse limite é xtoinfty. Portanto 10.

Passo 3

Como o limite do expoente é 10, concluímos que o limite original é
exp(L)=exp(10)

Resposta

e^{10}

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