Use, se possível, a Regra de L’Hospital para calcular os limites abaixo:
lim x +infty(x+1)^(ln x)^-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto+infty(x+1)^(ln x)^-1. O conteúdo envolve limites de funções com base exponencial e logaritmo, e vamos usar a técnica de escrever a expressão como uma exponencial e depois empregar a Regra de L’Hospital para avaliar uma forma tfracinftyinfty.

Passo 2

Definimos L=limxto+infty(x+1)^tfrac1ln x. Tomando logaritmo natural em ambos os lados, temos
ln L=limxto+inftyln(x+1)ln x

Passo 3

O limite ln(x+1)ln x é do tipo tfracinftyinfty, então aplicamos a Regra de L’Hospital:
limxto+inftyln(x+1)ln x=limxto+inftytfracddxln(x+1)tfracddxln x=limxto+infty1/(x+1)1/x=limxto+inftyxx+1=1

Passo 4

Concluímos que ln L=1, logo
L=e^1=e

Resposta

e

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