Obtenha a solução geral das equações a seguir. Em cada caso temos
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
onde
. A pergunta é: obter a solução geral dessa equação. Informação relevante: as derivadas são em relação a
(índice
e
), então a equação é uma equação diferencial ordinária em
para cada
fixo — isto é, para cada valor de
a função
satisfaz uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes.
Passo 2
Estratégia (explicação didática): resolver a EDO em
de segunda ordem com coeficientes constantes. O método padrão é tentar soluções do tipo exponencial em
. Ou seja, suponho uma solução da forma
substituo na equação em
e obtenho a equação característica para
. Observação importante: como estou tratando
como parâmetro, as “constantes de integração” que surgirem ao resolver a EDO podem (e devem) ser funções arbitrárias de
.
Passo 3
Substituindo
na equação, calculo as derivadas:
Inserindo na EDO:
Como
, divido por
e obtenho a equação característica
Passo 4
Resolvo a equação característica. Ela fatoriza:
portanto as raízes são
Como são duas raízes reais e distintas, a solução geral da EDO em
(para cada
fixo) é uma combinação linear das exponenciais correspondentes. Como expliquei, as constantes de integração podem depender de
. Assim a solução geral é
onde
e
são funções arbitrárias de
.
Passo 5
Verificação rápida e comentário prático: calculando as derivadas em
de
com
vistas como constantes em relação a
,
Substituindo em
e reunindo coeficientes de
e
obtém-se zeros porque as raízes satisfazem a equação característica (verificação direta). Assim a solução acima está correta.
Se houver condições iniciais na variável
, por exemplo
e
, pode-se determinar
e
resolvendo o sistema linear
que tem solução