Obtenha a solução geral das equações a seguir. Em cada caso temos u=u(x, y).
u_{y y}+5 u_{y}+6 u=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
u_{yy}+5u_{y}+6u=0,
onde u=u(x,y). A pergunta é: obter a solução geral dessa equação. Informação relevante: as derivadas são em relação a y (índice yy e y), então a equação é uma equação diferencial ordinária em y para cada x fixo — isto é, para cada valor de x a função y\mapsto u(x,y) satisfaz uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): resolver a EDO em y de segunda ordem com coeficientes constantes. O método padrão é tentar soluções do tipo exponencial em y. Ou seja, suponho uma solução da forma
u(x,y)=e^{ry},
substituo na equação em y e obtenho a equação característica para r. Observação importante: como estou tratando x como parâmetro, as “constantes de integração” que surgirem ao resolver a EDO podem (e devem) ser funções arbitrárias de x.

Passo 3

Substituindo u=e^{ry} na equação, calculo as derivadas:
u_{y}=r e^{ry},\qquad u_{yy}=r^{2} e^{ry}.
Inserindo na EDO:
r^{2}e^{ry}+5 r e^{ry}+6 e^{ry}=0.
Como e^{ry}\neq0, divido por e^{ry} e obtenho a equação característica
r^{2}+5r+6=0.

Passo 4

Resolvo a equação característica. Ela fatoriza:
r^{2}+5r+6=(r+2)(r+3)=0,
portanto as raízes são
r_{1}=-2,\qquad r_{2}=-3.
Como são duas raízes reais e distintas, a solução geral da EDO em y (para cada x fixo) é uma combinação linear das exponenciais correspondentes. Como expliquei, as constantes de integração podem depender de x. Assim a solução geral é
u(x,y)=C_{1}(x)e^{-2y}+C_{2}(x)e^{-3y},
onde C_{1} e C_{2} são funções arbitrárias de x.

Passo 5

Verificação rápida e comentário prático: calculando as derivadas em y de u(x,y) com C_{1}(x),C_{2}(x) vistas como constantes em relação a y,
u_{y}=-2C_{1}(x)e^{-2y}-3C_{2}(x)e^{-3y},
u_{yy}=4C_{1}(x)e^{-2y}+9C_{2}(x)e^{-3y}.
Substituindo em u_{yy}+5u_{y}+6u e reunindo coeficientes de e^{-2y} e e^{-3y} obtém-se zeros porque as raízes satisfazem a equação característica (verificação direta). Assim a solução acima está correta.
Se houver condições iniciais na variável y, por exemplo \;u(x,0)=U(x)\; e \;u_{y}(x,0)=V(x)\;, pode-se determinar C_{1}(x) e C_{2}(x) resolvendo o sistema linear
\begin{cases} C_{1}(x)+C_{2}(x)=U(x),\\[4pt] -2C_{1}(x)-3C_{2}(x)=V(x), \end{cases}
que tem solução
C_{1}(x)=3U(x)+V(x),\qquad C_{2}(x)=-2U(x)-V(x).]

Resposta

u(x,y)=C_{1}(x)e^{-2y}+C_{2}(x)e^{-3y}

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