Obtenha a solução geral das equações a seguir. Em cada caso temos
.
. Neste caso é sugerido utilizar a mudança de variáveis
Passo 1
O que o enunciado pede: obter a solução geral da equação parcial
onde
.
Informações dadas:
- A equação a resolver é
. - Foi sugerida a mudança de variáveis
Passo 2
Definir a nova função em termos das variáveis propostas. Seja
com
e
. Isto significa que
. Agora, usar a regra da cadeia para expressar
e
em função de
e
.
Regra da cadeia (explicação rápida): se
e
e
dependem de
, então
Calcular as derivadas parciais de
e
:
Substituindo na regra da cadeia obtemos:
Passo 3
Substituir
e
na equação original:
Portanto a equação em
fica
ou seja
Interpretando: essa é uma equação diferencial ordinária em
(derivada parcial em
) em que
aparece apenas como parâmetro. Para cada valor fixo de
resolvemos a ODE em
.
Passo 4
Resolver a ODE
. Esta é uma equação linear simples de primeiro ordem com solução padrão exponencial. Integrando em
(tratando
como constante) temos
onde
é uma função arbitrária de
(ou seja, a “constante de integração” pode depender do parâmetro
).
Breve explicação do porquê de
depender de
: ao integrar uma ODE em
mantendo
fixo, a integração introduz uma função que é constante em
mas pode variar com o parâmetro
; isso gera uma família de soluções parametrizada por
.
Passo 5
Voltar às variáveis originais: lembrar que
e
. Substituindo,
Renomeando a função arbitrária
por
(nome mais comum), a solução geral é
onde
é uma função arbitrária de uma variável.
Passo 6
Verificação rápida (importante na prova): calcular
e
a partir da solução e verificar que satisfazem a equação original.
Calcular:
Calcular:
Então
confirmando que a solução está correta.
Resposta
onde
é uma função arbitrária de uma variável.