Obtenha a solução geral das equações a seguir. Em cada caso temos u=u(x, y).
u_{x}-u_{y}+u=0. Neste caso é sugerido utilizar a mudança de variáveis
\begin{aligned} w & =x+y \\\ z & =y \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede: obter a solução geral da equação parcial
u_{x}-u_{y}+u=0,
onde u=u(x,y).
Informações dadas:
  • A equação a resolver é \,u_{x}-u_{y}+u=0.
  • Foi sugerida a mudança de variáveis
\begin{aligned} w &= x+y,\\\ z &= y. \end{aligned}

Passo 2

Definir a nova função em termos das variáveis propostas. Seja
U(w,z)=u(x,y),
com w=x+y e z=y. Isto significa que U(w,z)=u(w-z,z). Agora, usar a regra da cadeia para expressar u_{x} e u_{y} em função de U_{w} e U_{z}.
Regra da cadeia (explicação rápida): se U(w,z)=u(x,y) e w e z dependem de x,y, então
u_x = U_w\,\frac{\partial w}{\partial x}+U_z\,\frac{\partial z}{\partial x}, \qquad u_y = U_w\,\frac{\partial w}{\partial y}+U_z\,\frac{\partial z}{\partial y}.
Calcular as derivadas parciais de w e z:
\frac{\partial w}{\partial x}=1,\quad \frac{\partial z}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial w}{\partial y}=1,\quad \frac{\partial z}{\partial y}=1.
Substituindo na regra da cadeia obtemos:
u_x = U_w\cdot 1 + U_z\cdot 0 = U_w,
u_y = U_w\cdot 1 + U_z\cdot 1 = U_w + U_z.

Passo 3

Substituir u_x e u_y na equação original:
u_x - u_y + u = U_w - (U_w + U_z) + U = -U_z + U.
Portanto a equação em (w,z) fica
-U_z + U = 0,
ou seja
U_z = U.
Interpretando: essa é uma equação diferencial ordinária em z (derivada parcial em z) em que w aparece apenas como parâmetro. Para cada valor fixo de w resolvemos a ODE em z.

Passo 4

Resolver a ODE \,U_z = U. Esta é uma equação linear simples de primeiro ordem com solução padrão exponencial. Integrando em z (tratando w como constante) temos
U(w,z)=A(w)\,e^{z},
onde A(w) é uma função arbitrária de w (ou seja, a “constante de integração” pode depender do parâmetro w).
Breve explicação do porquê de A depender de w: ao integrar uma ODE em z mantendo w fixo, a integração introduz uma função que é constante em z mas pode variar com o parâmetro w; isso gera uma família de soluções parametrizada por w.

Passo 5

Voltar às variáveis originais: lembrar que w=x+y e z=y. Substituindo,
u(x,y)=U(w,z)=A(w)\,e^{z}=A(x+y)\,e^{y}.
Renomeando a função arbitrária A por F (nome mais comum), a solução geral é
u(x,y)=F(x+y)\,e^{y},
onde F é uma função arbitrária de uma variável.

Passo 6

Verificação rápida (importante na prova): calcular u_x e u_y a partir da solução e verificar que satisfazem a equação original.
Calcular:
u_x = F'(x+y)\,e^{y}, \qquad u_y = F'(x+y)\,e^{y} + F(x+y)\,e^{y}.
Então
u_x - u_y + u = F'e^{y} - (F'e^{y}+Fe^{y}) + Fe^{y} = 0,
confirmando que a solução está correta.

Resposta

u(x,y)=F(x+y)\,e^{y},
onde F é uma função arbitrária de uma variável.

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