Obtenha a solução geral de
.
Passo 1
Resumo do enunciado e preparação: A equação dada é
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento harmônico. Para resolver precisamos encontrar a solução complementar (da equação homogênea) e uma solução particular. O conteúdo envolvido é teoria de EDOs lineares não homogêneas.
Passo 2
Solução da equação homogênea: Considere a equação associada sem forçamento:
A equação característica é
ou seja
Assim a solução complementar é
Passo 3
Determinação da solução particular: Como o forçamento é do tipo
, suponha
Derivando:
Substituindo na EDO original:
Fatorando
:
Como
, temos
Passo 4
Combinação das soluções e expressão final: A solução geral é a soma da complementar e da particular. Assim,
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.