Obtenha a solução geral de
m u^prime prime+k u=F0 cos omega t,
com omega^2 neq k / m.

Passo 1

Resumo do enunciado e preparação: A equação dada é
m,u'' + k,u = F0cosomega t,
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento harmônico. Para resolver precisamos encontrar a solução complementar (da equação homogênea) e uma solução particular. O conteúdo envolvido é teoria de EDOs lineares não homogêneas.

Passo 2

Solução da equação homogênea: Considere a equação associada sem forçamento:
m,u'' + k,u = 0
A equação característica é
m,r^2 + k = 0
ou seja
r^2 = -km = -omega0^2, omega0=raizkm
Assim a solução complementar é
uh(t) = Acos(omega0 t) + Bsin(omega0 t)

Passo 3

Determinação da solução particular: Como o forçamento é do tipo F0cosomega t, suponha
up(t) = Ccosomega t
Derivando:
up''(t) = -C,omega^2cosomega t
Substituindo na EDO original:
m(-Comega^2cosomega t) + k(Ccosomega t) = F0cosomega t
Fatorando Ccosomega t:
C,(k - momega^2)cosomega t = F0cosomega t
Como omega^2neq k/m, temos
C = F0k - momega^2

Passo 4

Combinação das soluções e expressão final: A solução geral é a soma da complementar e da particular. Assim,
u(t) = uh(t) + up(t) = Acos(omega0 t) + Bsin(omega0 t) + F0k - momega^2cosomega t,
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

u(t)=Acosl(raiztfrackm,tr)+Bsinl(raiztfrackm,tr)+F0k-momega^2cosomega t

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