Resolvas os PVIs.
Passo 1
O enunciado pede para resolver dois problemas de valor inicial (PVI) com forças impulsivas modeladas por deltas de Dirac. O conteúdo principal é o uso da transformada de Laplace para lidar com equações diferenciais lineares com termos $,\delta(t-a)$ e aplicar o teorema do deslocamento no tempo. Vamos precisar: a) saber as fórmulas de $,\mathcal{L}{y’},\mathcal{L}{y’’}$; b) a transformada de $,\delta(t-a)$ e o teorema do deslocamento.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace ao primeiro PVI $,w’’+w=\delta(t-\pi),;w(0)=0,;w’(0)=0$. Temos
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Como $,w(0)=0$ e $,w’(0)=0$, isso vira $,W(s)(s2+1)=e{-\pi s}$\, logo
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Como $,w(0)=0$ e $,w’(0)=0$, isso vira $,W(s)(s2+1)=e{-\pi s}$\, logo
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Passo 3
Para inverter $,W(s)$ usamos o teorema do deslocamento: se $,F(s)=1/(s^2+1)$ então $,f(t)=\sin t$. Logo
a solução é
a solução é
$
Passo 4
Agora ao segundo PVI $,y’’+2y’-3y=\delta(t-1)-\delta(t-2),;y(0)=2,;y’(0)=-2$. Aplicando Laplace:
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Reagrupando termos de $,Y(s)$ e constantes:
$
Reagrupando termos de $,Y(s)$ e constantes:
$
Então
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Passo 5
Separaremos $,Y(s)$ em parte homogênea e parte de impulso. Primeiro a parte homogênea:
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Reconhecemos
$
Reconhecemos
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Logo essa fração gera
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que satisfaz $y(0)=2,,y’(0)=-2$.
que satisfaz $y(0)=2,,y’(0)=-2$.
Passo 6
Para a parte dos impulsos temos
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Invertendo,
$
Invertendo,
$
Pelo teorema do deslocamento, cada termo com $,e^{-as}$ vira um $H(t-a)f(t-a)$. Assim a contribuição é
$
Passo 7
Somando as partes homogênea e de impulso, obtemos a solução completa:
$
Resposta
$w(t)=H(t-\pi)\sin(t-\pi),\quad y(t)=et+e{-3t}+\tfrac14\bigl[H(t-1)(e{t-1}-e{-3(t-1)})-H(t-2)(e{t-2}-e{-3(t-2)})\bigr].$