Resolvas os PVIs.
lw^prime prime+w=de

Passo 1

O enunciado pede para resolver dois problemas de valor inicial (PVI) com forças impulsivas modeladas por deltas de Dirac. O conteúdo principal é o uso da transformada de Laplace para lidar com equações diferenciais lineares com termos $,\delta(t-a)$ e aplicar o teorema do deslocamento no tempo. Vamos precisar: a) saber as fórmulas de $,\mathcal{L}{y’},\mathcal{L}{y’’}$; b) a transformada de $,\delta(t-a)$ e o teorema do deslocamento.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace ao primeiro PVI $,w’’+w=\delta(t-\pi),;w(0)=0,;w’(0)=0$. Temos
$ ,w''+w=de
Como $,w(0)=0$ e $,w’(0)=0$, isso vira $,W(s)(s2+1)=e{-\pi s}$\, logo
$ s^2W(s)-s,w(0)-w'(0)+W(s)=,e^-pi s

Passo 3

Para inverter $,W(s)$ usamos o teorema do deslocamento: se $,F(s)=1/(s^2+1)$ então $,f(t)=\sin t$. Logo
a solução é
$ ,W(s)

Passo 4

Agora ao segundo PVI $,y’’+2y’-3y=\delta(t-1)-\delta(t-2),;y(0)=2,;y’(0)=-2$. Aplicando Laplace:
$ ,y''+2y'-3y=de
Reagrupando termos de $,Y(s)$ e constantes:
$ s^2Y(s)-2s+2+2(sY(s)-2)-3Y(s)=e^-s-e^-2s
Então
$ ,Y(s)

Passo 5

Separaremos $,Y(s)$ em parte homogênea e parte de impulso. Primeiro a parte homogênea:
$ ,Y(s)
Reconhecemos
$
Logo essa fração gera
$ 2s+2s^2+2s-3=2s+1(s+1)^2-2^2
que satisfaz $y(0)=2,,y’(0)=-2$.

Passo 6

Para a parte dos impulsos temos
$ 1s^2+2s-3=1(s-1)(s+3)=14l(1s-1-1s+3r)
Invertendo,
$
Pelo teorema do deslocamento, cada termo com $,e^{-as}$ vira um $H(t-a)f(t-a)$. Assim a contribuição é
$ L^-11/(s^2+2s-3)=tfrac14(e^t-e^-3t)

Passo 7

Somando as partes homogênea e de impulso, obtemos a solução completa:
$ y(t)=e^t+e^-3t+tfrac14l[H(t-1)(e^t-1-e^-3(t-1))-H(t-2)(e^t-2-e^-3(t-2))r]

Resposta

$w(t)=H(t-\pi)\sin(t-\pi),\quad y(t)=et+e{-3t}+\tfrac14\bigl[H(t-1)(e{t-1}-e{-3(t-1)})-H(t-2)(e{t-2}-e{-3(t-2)})\bigr].$

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