Use resíduos para encontrar o valor da integral
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
usando o método dos resíduos. O conteúdo envolve integrais em contornos complexos e o teorema dos resíduos, precisaremos identificar polos de
, escolher um contorno apropriado no semiplano superior e usar que as integrais de arco vão a zero conforme o raio tende a infinito.
Passo 2
Começamos encontrando os polos da função
. Eles são as raízes da equação
, ou seja
para
. No semiplano superior ficam
e
, que são polos simples.
Passo 3
Para um polo simples
, o resíduo de
é
. Aplicamos isto em
e
:
Passo 4
Pelo teorema dos resíduos aplicado ao contorno que vai de
a
sobre o eixo real e fecha por um semicírculo de raio
no semiplano superior, e fazendo
, obtemos
Passo 5
Calculando a soma dos resíduos:
Passo 6
Logo
Passo 7
Como o integrando é função par, temos
. Assim