Use resíduos para encontrar o valor da integral integral0^infty d xx^4+1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria integral0^inftydxx^4+1 usando o método dos resíduos. O conteúdo envolve integrais em contornos complexos e o teorema dos resíduos, precisaremos identificar polos de 1/(z^4+1), escolher um contorno apropriado no semiplano superior e usar que as integrais de arco vão a zero conforme o raio tende a infinito.

Passo 2

Começamos encontrando os polos da função f(z)=1z^4+1. Eles são as raízes da equação z^4+1=0, ou seja zk=e^i(pi/4 + kpi/2) para k=0,1,2,3. No semiplano superior ficam z1=e^ipi/4 e z2=e^i3pi/4, que são polos simples.

Passo 3

Para um polo simples zk, o resíduo de f(z) é Res(f,zk)=limzto zk(z-zk)1z^4+1=14zk^3. Aplicamos isto em z1 e z2:
Res(f,z1)=14e^3ipi/4,Res(f,z2)=14e^9ipi/4=14e^ipi/4

Passo 4

Pelo teorema dos resíduos aplicado ao contorno que vai de -R a R sobre o eixo real e fecha por um semicírculo de raio R no semiplano superior, e fazendo Rtoinfty, obtemos
integral-infty^inftydxx^4+1=2pi isumk=1^2Res(f,zk)

Passo 5

Calculando a soma dos resíduos:
sumk=1^2Res(f,zk)=14l(e^-3ipi/4+e^-ipi/4r)=-iraiz24

Passo 6

Logo
integral-infty^inftydxx^4+1=2pi il(-tfraciraiz24r)=piraiz22

Passo 7

Como o integrando é função par, temos integral0^infty=tfrac12integral-infty^infty. Assim
integral0^inftydxx^4+1=12cdotpiraiz22=pi2raiz2

Resposta

pi2raiz2

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