Obtenha uma solução geral (real) das equações a seguir.
y^prime prime+6 y^prime+73 y=80 e^x cos 4 x

Passo 1

A gente tem uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo:
y’’ + 6y’ + 73y = 80 e^x cos 4x.
O conteúdo envolve: resolução da parte homogênea via equação característica e busca de uma solução particular pelo método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada. Montamos a característica:
r^2 + 6r + 73 = 0
O discriminante é negativo (Δ = 36 - 292 = -256), então as raízes são
r = -6 pm raiz-2562 = -3 pm 8i
Logo a solução homogênea é
yh(x) = e^-3xl(C1 cos 8x + C2 sin 8xr)

Passo 3

Para a solução particular, como o lado direito é 80 e^x cos 4x e as raízes 1 pm 4i não coincidem com -3 pm 8i, usamos o ansatz
yp(x) = e^xl(A cos 4x + B sin 4xr)

Passo 4

É conveniente definir z(x)=Acos4x+Bsin4x e escrever yp=e^x z. Calcula-se:
yp' = e^x(z + z'),
yp'' = e^x(z + 2z' + z'')
Substituindo em y''+6y'+73y obtém-se
z'' + 8z' + 80z = 80 cos 4x

Passo 5

Agora derivamos (z"):
z = Acos4x + Bsin4x,
z' = -4Asin4x + 4Bcos4x,
z'' = -16Acos4x -16Bsin4x
Substituindo na equação de z e agrupando termos de cos4x e sin4x gera o sistema:
64A + 32B = 80,
-32A + 64B = 0

Passo 6

Da segunda equação vem B = tfrac12A. Substituindo na primeira:
64A + 32l(tfrac12Ar) = 80 implies 80A = 80 implies A = 1,
logo B = tfrac12 Assim
yp(x) = e^xl(cos4x + tfrac12sin4xr)

Passo 7

Por fim, somamos as partes homogênea e particular. A solução geral real é a soma:
y(x) = e^-3xl(C1 cos8x + C2 sin8xr) + e^xl(cos4x + tfrac12sin4xr)

Resposta

A solução geral é y(x)=e^-3xl(C1cos8x+C2sin8xr)+e^xl(cos4x+tfrac12sin4xr).

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