Obtenha uma solução geral (real) das equações a seguir.
Passo 1
A gente tem uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo:
y’’ + 6y’ + 73y = 80 e^x cos 4x.
O conteúdo envolve: resolução da parte homogênea via equação característica e busca de uma solução particular pelo método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada. Montamos a característica:
O discriminante é negativo (Δ = 36 - 292 = -256), então as raízes são
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para a solução particular, como o lado direito é
e as raízes
não coincidem com
, usamos o ansatz
Passo 4
É conveniente definir
e escrever
. Calcula-se:
Substituindo em
obtém-se
Passo 5
Agora derivamos (z"):
Substituindo na equação de
e agrupando termos de
e
gera o sistema:
Passo 6
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
logo
Assim
Passo 7
Por fim, somamos as partes homogênea e particular. A solução geral real é a soma:
Resposta
A solução geral é
.