Obtenha uma solução geral da equação diferencial não-homogênea abaixo usando o método da variação dos parâmetros.
d^3 y(t)d t^3-6 cdot d^2 y(t)d t^2+11 cdot d y(t)d t-6 cdot y(t)=e^t+e^2 t+e^3 t

Passo 1

A gente tem uma equação diferencial linear de 3ª ordem não-homogênea
y'''-6y''+11y'-6y=e^t+e^2t+e^3t
Matéria: EDO linear de 3ª ordem e método da variação de parâmetros.
O que vamos precisar:
  1. Solução da parte homogênea (achar raízes do polinômio característico).
  2. Montar o ansatz de variação de parâmetros yp=u1(t)e^t+u2(t)e^2t+u3(t)e^3t.
  3. Calcular o Wronskiano e usar Cramer pra achar ui'(t).
  4. Integrar ui'(t) e montar yp.

Passo 2

Primeiro a parte homogênea:
y'''-6y''+11y'-6y=0
Polinômio característico:
r^3-6r^2+11r-6=(r-1)(r-2)(r-3)=0
Então as raízes são r=1,2,3 e as soluções fundamentais são
y1=e^t, y2=e^2t, y3=e^3t
Logo a solução homogênea é
yh=C1e^t+C2e^2t+C3e^3t

Passo 3

Para a parte particular a gente supõe
yp=u1(t)e^t+u2(t)e^2t+u3(t)e^3t
A teoria manda impor três condições para simplificar as derivadas:
u1'y1+u2'y2+u3'y3=0, u1'y1'+u2'y2'+u3'y3'=0, u1'y1''+u2'y2''+u3'y3''=e^t+e^2t+e^3t,
Assim a derivada tripla de yp gera exatamente o lado direito.

Passo 4

Calculamos o Wronskiano
W=det e^t&e^2t&e^3t e^t&2e^2t&3e^3t e^t&4e^2t&9e^3t =2e^6tneq0
Pelas fórmulas de Cramer para variação de parâmetros:
ui'=(-1)^,i-1WiW,
onde Wi é o determinante trocando a i-ésima coluna por (0,0,e^t+e^2t+e^3t). Os cálculos dão
u1'=tfrac12l(1+e^t+e^2tr), u2'=e^-t+1+e^t, u3'=tfrac12l(e^-2t+e^-t+1r)

Passo 5

Agora a gente integra cada ui' (e ignora constantes de integração, pois caem em yh):
u1=tfrac12t+tfrac12e^t+tfrac14e^2t, u2=-e^-t+t+e^t, u3=tfrac12t-tfrac12e^-t-tfrac14e^-2t

Passo 6

A parte particular vira
yp=u1e^t+u2e^2t+u3e^3t =12te^t+t,e^2t+12te^3t +54l(e^3t-e^tr)
Os termos sem t podem ser absorvidos em yh, ficando uma forma mais enxuta:

Resposta

boxedy(t)=C1e^t+C2e^2t+C3e^3t+12,t,e^t+t,e^2t+12,t,e^3t,

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