Obtenha uma solução geral da equação diferencial não-homogênea abaixo usando o método da variação dos parâmetros.
Passo 1
A gente tem uma equação diferencial linear de 3ª ordem não-homogênea
Matéria: EDO linear de 3ª ordem e método da variação de parâmetros.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Solução da parte homogênea (achar raízes do polinômio característico).
- Montar o ansatz de variação de parâmetros
. - Calcular o Wronskiano e usar Cramer pra achar
. - Integrar
e montar .
Passo 2
Primeiro a parte homogênea:
Polinômio característico:
Então as raízes são
e as soluções fundamentais são
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para a parte particular a gente supõe
A teoria manda impor três condições para simplificar as derivadas:
Assim a derivada tripla de
yp gera exatamente o lado direito.
Passo 4
Calculamos o Wronskiano
Pelas fórmulas de Cramer para variação de parâmetros:
onde
Wi é o determinante trocando a
i -ésima coluna por
(0,0,e^t+e^2t+e^3t) . Os cálculos dão
Passo 5
Agora a gente integra cada
ui' (e ignora constantes de integração, pois caem em
yh ):
Passo 6
A parte particular vira
Os termos sem
t podem ser absorvidos em
yh , ficando uma forma mais enxuta: