Obtenha uma solução para o PVI:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente resolver o PVI
Conteúdo: equações diferenciais de 1ª ordem exatas.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Colocar na forma
. - Verificar se é “exata” (checar
). - Encontrar uma função potencial
tal que . - Aplicar a condição inicial pra achar a constante.
Passo 2
Primeiro, reorganiza a equação em forma diferencial:
multiplica tudo por
:
Aqui definimos
Passo 3
Teoria de exatas:
Uma equação é exata se
Calcula:
Como batem, fechou: é exata.
Então existe com
Uma equação
Calcula:
Como batem, fechou: é exata.
Então existe
Integramos
em relação a
(tratando
como constante):
Passo 4
Agora determinamos
exigindo
.
Logo
, daí
Assim a função potencial completa é
A solução implícita é
Passo 5
Usa a condição
:
Então
Multiplicando por 3 e isolando
: