Obtenha uma solução para o PVI:
y^2(6 t+1) d yd t+2 y^3=-3 t^2, sujeito a y(1)=2

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente resolver o PVI
y^2(6t+1),dydt + 2y^3 = -3t^2, y(1)=2
Conteúdo: equações diferenciais de 1ª ordem exatas.
O que vamos precisar:
  1. Colocar na forma M(t,y),dt + N(t,y),dy=0.
  2. Verificar se é “exata” (checar partial M/partial y = partial N/partial t).
  3. Encontrar uma função potencial u(t,y) tal que du=0.
  4. Aplicar a condição inicial pra achar a constante.

Passo 2

Primeiro, reorganiza a equação em forma diferencial:
y^2(6t+1),dydt + 2y^3 + 3t^2 = 0
multiplica tudo por dt:
(3t^2 + 2y^3),dt + y^2(6t+1),dy = 0
Aqui definimos
M(t,y) = 3t^2 + 2y^3, N(t,y) = y^2(6t+1)

Passo 3

Teoria de exatas:
Uma equação M,dt + N,dy=0 é exata se
partial Mpartial y = partial Npartial t
Calcula:
partial Mpartial y = 6y^2,
partial Npartial t = 6y^2
Como batem, fechou: é exata.
Então existe u(t,y) com
partial upartial t = M(t,y), partial upartial y = N(t,y)
Integramos partial u/partial t = 3t^2 + 2y^3 em relação a t (tratando y como constante):
u(t,y) = integral(3t^2 + 2y^3),dt = t^3 + 2t,y^3 + h(y)

Passo 4

Agora determinamos h(y) exigindo partial u/partial y = N(t,y).
partial upartial y = 6t,y^2 + h'(y) = y^2(6t+1) = 6t,y^2 + y^2
Logo h'(y)=y^2, daí
h(y) = integral y^2,dy = y^33
Assim a função potencial completa é
u(t,y) = t^3 + 2t,y^3 + y^33
A solução implícita é
u(t,y) = K Longrightarrow t^3 + 2t,y^3 + y^33 = K

Passo 5

Usa a condição y(1)=2:
1^3 + 2cdot1cdot2^3 + 2^33 = 1 + 16 + 83 = 3 + 48 + 83 = 593 ;Rightarrow; K = 593
Então
t^3 + 2t,y^3 + y^33 = 593
Multiplicando por 3 e isolando y^3:
3t^3 + 6t,y^3 + y^3 = 59 Longrightarrow y^3(6t+1) = 59 - 3t^3

Resposta

boxedy(t) = raiz[3]59 - 3t^36t + 1,

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