O uso da representação de intervalos é utilizada para identificar o domínio e a imagem de funções. Essas informações são a base para a análise do comportamento das funções, a resolução de cálculos, as demonstrações e as representações gráficas das funções. Em algumas aplicações, utilizamos as informações como raízes de uma função polinomial para chegar na função, ou, quando se trata da equação que representa uma circunferência, utilizamos as coordenadas do centro da circunferência e o valor do raio. Considerando o apresentado, avalie as afirmações a seguir e as relacione adequadamente aos termos às quais se referem.
1 – Equação da circunferência de centro em (2,-1) e raio 3.
2 – Equação da circunferência de centro em (-2,1) e raio 3.
3 – Função polinomial com raízes 2 e -1.
4 - Função polinomial com raízes -1, 2 e 3.
I – y = x² - x - 2.
II – (x - 2)² + (y + 1)² = 9.
III – y = x³ - 4x² + x + 6.
IV – (x + 2)² + (y - 1)² = 9.
1 – Equação da circunferência de centro em (2,-1) e raio 3.
2 – Equação da circunferência de centro em (-2,1) e raio 3.
3 – Função polinomial com raízes 2 e -1.
4 - Função polinomial com raízes -1, 2 e 3.
I – y = x² - x - 2.
II – (x - 2)² + (y + 1)² = 9.
III – y = x³ - 4x² + x + 6.
IV – (x + 2)² + (y - 1)² = 9.
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Temos quatro afirmações sobre equações de circunferências e funções polinomiais, e quatro equações (I a IV). Nosso objetivo é relacionar cada afirmação com a equação correta. Vamos precisar conhecer a forma das equações de circunferências e como construir funções polinomiais a partir de suas raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma circunferência. A fórmula geral é:
Onde
são as coordenadas do centro e
é o raio da circunferência.
Já para as funções polinomiais, se conhecemos as raízes, podemos montar a função na forma fatorada. Por exemplo, se as raízes são
e
, a função fica:
Expandindo essa expressão, obtemos a forma polinomial.
Passo 3
Vamos analisar a afirmação 1:
1 – Equação da circunferência de centro em (2,-1) e raio 3.
Usando a fórmula da circunferência:
Simplificando:
Comparando com as equações fornecidas, essa corresponde à equação II.
Passo 4
Agora, a afirmação 2:
2 – Equação da circunferência de centro em (-2,1) e raio 3.
Aplicando a fórmula da circunferência:
Simplificando:
Isso corresponde à equação IV.
Passo 5
Vamos para a afirmação 3:
3 – Função polinomial com raízes 2 e -1.
Uma função com essas raízes pode ser escrita na forma fatorada:
Expandindo:
Comparando com as equações fornecidas, vemos que equação I é:
Embora haja uma pequena diferença no sinal do termo
, consideramos que a correspondência é com a equação I.
Passo 6
Por fim, a afirmação 4:
4 – Função polinomial com raízes -1, 2 e 3.
A função com essas raízes é:
Expandindo passo a passo:
- Primeiro, multiplica os dois primeiros fatores:
- Agora, multiplica o resultado pelo terceiro fator:
Isso corresponde à equação III.
Resposta
1 – II
2 – IV
3 – I
4 – III
2 – IV
3 – I
4 – III