Uma pesquisa selecionou canetas de uma mesma marca para pesar. Foram selecionados 26 aparelhos, em que verificou-se desvio padrão de 0,1 grama. Supondo que os pesos são normalmente distribuídos, construa um intervalo de confiança de 99% para o desvio padrão populacional e assinale a alternativa correta.
a. Com 99% de confiança, pode-se dizer que o desvio padrão da população está entre 0,089 e 0,171 grama.
b. Com 99% de confiança, pode-se dizer que o desvio padrão da população está entre 0,073 e 0,155 grama.
c. Com 99% de confiança, pode-se dizer que o desvio padrão da população está entre 0,092 e 0,180 grama.
d. Com 99% de confiança, pode-se dizer que o desvio padrão da população está entre 0,064 e 0,145 grama.
e. Com 99% de confiança, pode-se dizer que o desvio padrão da população está entre 0,057 e 0,141 grama.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de estatística onde precisamos construir um intervalo de confiança de 99% para o desvio padrão de uma população. O que isso significa é que, com 99% de certeza, o verdadeiro desvio padrão da população está dentro desse intervalo que vamos calcular. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição qui-quadrado, que é usada para intervalos de confiança de variância e desvio padrão quando a população é normalmente distribuída.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Tamanho da amostra ( n): 26 canetas
  • Desvio padrão da amostra ( s): 0,1 grama
  • Nível de confiança: 99%
O desvio padrão populacional que queremos estimar é representado por sigma.

Passo 3

Como a população é normalmente distribuída, podemos usar a distribuição qui-quadrado ( chi^2) para construir o intervalo de confiança. A fórmula para o intervalo de confiança para a variância ( sigma^2) é:
( (n-1)s^2chi^2alpha/2, (n-1)s^2chi^21-alpha/2 )
Como queremos o intervalo para o desvio padrão ( sigma), basta tirar a raiz quadrada dos limites:
( raiz(n-1)s^2chi^2alpha/2, raiz(n-1)s^2chi^21-alpha/2 )
Onde:
  • alpha é o nível de significância. Para um intervalo de 99% de confiança, alpha = 0,01.
  • chi^2alpha/2 e chi^21-alpha/2 são os valores críticos da distribuição qui-quadrado para os percentis correspondentes.

Passo 4

Vamos calcular os graus de liberdade ( df):
df = n - 1 = 26 - 1 = 25
Agora, precisamos encontrar os valores críticos chi^20,005 e chi^20,995 para df = 25.
Consultando uma tabela de distribuição qui-quadrado ou usando uma calculadora estatística, encontramos:
chi^20,005 approx 48,602
chi^20,995 approx 13,119

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na fórmula do intervalo de confiança para o desvio padrão:
Primeiro, calculamos (n-1)s^2:
(n-1)s^2 = 25 times (0,1)^2 = 25 times 0,01 = 0,25
Agora, calculamos os limites:
Limite Inferior = raiz0,2548,602 approx raiz0,005144 approx 0,0717 gramas
Limite Superior = raiz0,2513,119 approx raiz0,01905 approx 0,138 gramas

Passo 6

Arredondando os valores para três casas decimais, temos:
0,072 gramas <= sigma <= 0,138 gramas

Passo 7

Agora, vamos comparar com as alternativas fornecidas:
a. 0,089 a 0,171
b. 0,073 a 0,155
c. 0,092 a 0,180
d. 0,064 a 0,145
e. 0,057 a 0,141
O intervalo que calculamos ( 0,072 a 0,138) está mais próximo da alternativa b. 0,073 a 0,155 grama, porém o limite superior que encontramos é 0,138, que não alcança 0,155. Contudo, considerando os arredondamentos e possíveis pequenas variações nas tabelas qui-quadrado, a alternativa d. 0,064 a 0,145 grama também é uma possibilidade, mas o limite inferior que encontramos é 0,072, que é maior que 0,064.
A alternativa b está mais alinhada com nossos cálculos.

Resposta

A alternativa correta é a b. Com 99% de confiança, pode-se dizer que o desvio padrão da população está entre 0,073 e 0,155 grama.

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