Obtenha a solução do problema
& ut=K ux x+e^-t, em mathscrR, & ux(0, t)=ux(L, t)=0, para t>0, & u(x, 0)=0, para 0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação do calor não homogênea
ut = K uxx + e^-t, 0< x< L,; t>0,
com condições de contorno de Neumann homogêneas

e condição inicial

Vamos usar expansão em autofunções para resolver.

Passo 2

Para tratar as condições de contorno de Neumann, lembramos que as autofunções são
[0,L]
com ortogonalidade em u(x,t) = a0(t) + sumn=1^infty an(t)cosl(npi xLr) . Assim expandimos
f(x,t)=e^-t = f0(t) + sumn=1^infty fn(t)cosl(npi xLr)
e o termo fonte

Passo 3

Como f(x,t)=e^-t não depende de x, seus coeficientes são
f0(t)=1Lintegral0^L e^-t,dx = e^-t, fn(t)=2Lintegral0^L e^-tcosl(tfracnpi xLr)dx = 0; (n>=1)

Passo 4

Os coeficientes an(t) satisfazem ODEs:
Para n>=1:
an' + Kl(npiLr)^2 an = 0, an(0)=0 implies an(t)=0
Para o modo zero:
a0' = f0(t)=e^-t, a0(0)=0 implies a0(t)=1-e^-t
Reconstruindo vem

Resposta

u(x,t)=1-e^-t

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