Suponha que
e
sejam funções integráveis em um conjunto limitado
.
Mostre que para todo
, a função
é integrável em
e
.
Mostre que para todo
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um conjunto limitado
onde
é integrável, então para qualquer
a função
também é integrável e satisfaça
. O conteúdo que vamos usar é a definição de integrabilidade de Riemann em
via somas superiores e inferiores, e a propriedade de linearidade em escalares das supremas e ínfimas em cada subcélula do particionamento.
Passo 2
Vamos chamar de
e
as somas superior e inferior de
num particionamento
de
. Lembrando que
Se definirmos
e
do mesmo jeito, vemos que para
e para
inverte o papel de sup e inf, mas no final
Passo 3
Agora, como
é integrável, para dado
existe um particionamento
tal que
(se
o resultado é trivial). Assim,
o que mostra que
também satisfaz o critério de Cauchy para integrabilidade.
Passo 4
Para concluir a relação entre integrais, lembramos que o valor do integral é o limite comum de
e
quando o módulo do particionamento vai a zero. Como
(ou com sinal invertido, mas no limite prevalece o fator
), segue que
Passo 5
Portanto mostramos as duas coisas pedidas: que
é integrável em
e que sua integral é
vezes a de
.
Resposta
A função
é integrável em
e