Suponha que f e g sejam funções integráveis em um conjunto limitado B subset R^3.
Mostre que para todo alpha in R, a função alpha f é integrável em B e integral triplaB(alpha f)(x, y, z) d V= alpha integral triplaB f(x, y, z) d V.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um conjunto limitado BsubsetR^3 onde f é integrável, então para qualquer alphainR a função alpha f também é integrável e satisfaça integral triplaB(alpha f)=alpha,integral triplaB f. O conteúdo que vamos usar é a definição de integrabilidade de Riemann em R^3 via somas superiores e inferiores, e a propriedade de linearidade em escalares das supremas e ínfimas em cada subcélula do particionamento.

Passo 2

Vamos chamar de UP(f) e LP(f) as somas superior e inferior de f num particionamento P de B. Lembrando que
UP(f)=sumCin Psup(x,y,z)in Cf(x,y,z),vol(C),
LP(f)=sumCin Pinf(x,y,z)in Cf(x,y,z),vol(C)
Se definirmos UP(alpha f) e LP(alpha f) do mesmo jeito, vemos que para alpha>=0
sup(alpha f)=alphasup f,
inf(alpha f)=alphainf f
e para alpha<0 inverte o papel de sup e inf, mas no final
UP(alpha f)-LP(alpha f)=|alpha|l(UP(f)-LP(f)r)

Passo 3

Agora, como f é integrável, para dado varepsilon>0 existe um particionamento P tal que
UP(f)-LP(f)
(se alpha=0 o resultado é trivial). Assim,
UP(alpha f)-LP(alpha f)=|alpha|l(UP(f)-LP(f)r)
o que mostra que alpha f também satisfaz o critério de Cauchy para integrabilidade.

Passo 4

Para concluir a relação entre integrais, lembramos que o valor do integral é o limite comum de UP(f) e LP(f) quando o módulo do particionamento vai a zero. Como
UP(alpha f)=alpha,UP(f),
LP(alpha f)=alpha,LP(f)
(ou com sinal invertido, mas no limite prevalece o fator alpha), segue que
integral triplaB(alpha f)(x,y,z),dV=alpha,integral triplaB f(x,y,z),dV

Passo 5

Portanto mostramos as duas coisas pedidas: que alpha f é integrável em B e que sua integral é alpha vezes a de f.

Resposta

A função alpha f é integrável em B e
integral triplaB(alpha f)(x,y,z),dV=alpha,integral triplaBf(x,y,z),dV

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