Sendo F(x, y, z)=2 x i+j+4 k e G(x, y, z)=x i+y j-z k, calcule nabla cdot(F times G). [resp.: 0.]

Passo 1

Temos os campos vetoriais F(x,y,z)=2x,i+y,j+4z,k e G(x,y,z)=x,i+y,j-z,k. O que a questão pede é calcular a divergência do produto vetorial, isto é, nablacdot(Ftimes G). Para isso, precisaremos usar as definições de produto vetorial e de divergência.

Passo 2

Para obter Ftimes G, aplicamos a definição via determinante de 3×3:
Ftimes G = i & j & k 2x & y & 4z x & y & -z
Expandindo pelos cofatores, temos:
Ftimes G = i,(ycdot(-z)-4zcdot y) - j,(2xcdot(-z)-4zcdot x) + k,(2xcdot y - ycdot x)
Agora simplificamos cada componente:
Ftimes G = -5yz,i + 6xz,j + xy,k

Passo 3

Em seguida, usamos a definição de divergência de um campo H=(Hx,Hy,Hz), que é
nablacdot H = partial Hxpartial x + partial Hypartial y + partial Hzpartial z
Logo,
nablacdot(Ftimes G) = partial(-5yz)partial x + partial(6xz)partial y + partial(xy)partial z

Passo 4

Calcular cada derivada parcial: partial(-5yz)/partial x=0, partial(6xz)/partial y=0 e partial(xy)/partial z=0.
Portanto,
nablacdot(Ftimes G)=0.

Resposta

0

Exercícios relacionados