Obtenha a solução do problema de valor inicial
resp: y(x)=4 x^2-x^5 l x^2 y^prime prime-6 x y^prime+10 y=0 y(1)=3 y^prime(1)=3

Passo 1

Resumo do problema e o que precisamos: temos o PVI com a equação de Euler–Cauchy x^2y''-6xy'+10y=0 e as condições y(1)=3, y'(1)=3. Para resolver, usamos a técnica que propõe uma solução do tipo y(x)=x^r.

Passo 2

Substituição do ansatz y=x^r: calculamos as derivadas
y' = r x^r-1
y'' = r(r-1)x^r-2

Passo 3

Formação da equação característica: ao substituir y, y' e y'' na ODE, obtemos
x^2gl[r(r-1)x^r-2r] -6xgl[r x^r-1r] +10gl[x^rr]=0 

Passo 4

Essa expressão simplifica para
r(r-1)-6r+10=0

Passo 5

ou seja
r^2-7r+10=0

Passo 6

Resolvendo, achamos as raízes r1=5 e r2=2.

Passo 7

Solução geral e sua derivada:
y(x)=C1x^5 + C2x^2

Passo 8

y'(x)=5C1x^4 + 2C2x

Passo 9

Aplicação das condições iniciais em x=1:
y(1)=C1 + C2 = 3
y'(1)=5C1 + 2C2 = 3

Passo 10

Resolvendo o sistema, encontramos C1=-1 e C2=4.

Resposta

y(x)=4x^2 - x^5

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