Questão 10: Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
, onde
é a região do primeiro quadrante contida pelo
círculo
.
círculo
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral duplinha usando coordenadas polares. O enunciado pede para calcular:
Onde
é a região do primeiro quadrante dentro do círculo
. Para resolver, vamos precisar transformar as coordenadas cartesianas
em coordenadas polares
, já que o domínio
é circular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como fazemos a conversão para coordenadas polares. As relações são:
Além disso, o elemento de área
se transforma em
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Como
está no primeiro quadrante e dentro do círculo de raio 4 (já que
implica
):
Passo 4
Substituímos tudo na integral original:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazemos uma substituição simples: seja
, então
, ou seja,
.
Passo 6
Com a substituição, a integral fica:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral externa:
Resposta
Portanto, o valor da integral é: