Questão 10: Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaD 1(1+x^2+y^2)^33 d x d y, onde D é a região do primeiro quadrante contida pelo
círculo x^2+y^2=16.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral duplinha usando coordenadas polares. O enunciado pede para calcular:
integral duplaD 1(1 + x^2 + y^2) , dx , dy
Onde é a região do primeiro quadrante dentro do círculo . Para resolver, vamos precisar transformar as coordenadas cartesianas em coordenadas polares , já que o domínio é circular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como fazemos a conversão para coordenadas polares. As relações são:
x = r cos theta y = r sin theta
Além disso, o elemento de área se transforma em .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Como 0 <= theta <= pi2 0 <= r <= 4 está no primeiro quadrante e dentro do círculo de raio 4 (já que implica ):

Passo 4

Substituímos tudo na integral original:
integral duplaD 11 + x^2 + y^2 , dx , dy = integral0^pi2 integral0^4 11 + r^2 , r , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^4 r1 + r^2 , dr :
Fazemos uma substituição simples: seja , então , ou seja, .

Passo 6

Com a substituição, a integral fica:
12 integralu=1^u=17 1u , du = 12 [ ln |u| ]1^17 = 12 (ln 17 - ln 1) = 12 ln 17

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral externa:
integral0^pi2 12 ln 17 , dtheta = 12 ln 17 integral0^pi2 dtheta = 12 ln 17 [ theta ]0^pi2 = 12 ln 17 cdot pi2

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
pi4 ln 17

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