Obtenha uma solução para o PVI:
yt d yd t+e^2 t+y=0, sujeito a y(0)=0

Passo 1

Resumindo, temos o problema de valor inicial
yt,dydt + e^2t+y=0, y(0)=0
Este é uma EDO de 1ª ordem não linear. A ideia é multiplicar por um fator apropriado para reconhecer uma derivada exata.

Passo 2

Reescrevendo a equação como
yt,y' + e^2t+y=0 Longrightarrow yt,y' = -e^2t+y,
e multiplicando ambos os lados por t,e^-y, obtemos
y,y',e^-y + t,e^2t=0 Longrightarrow y,y',e^-y = -,t,e^2t

Passo 3

Note que
ddtl((y+1)e^-yr) = y',e^-y + (y+1)l(-y',e^-yr) = -,y,y',e^-y
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y,y',e^-y = -,ddtl((y+1)e^-yr),
e a equação vira
-,ddtl((y+1)e^-yr) = -,t,e^2t Longrightarrow ddtl((y+1)e^-yr) = t,e^2t

Passo 4

Integramos em t:
(y+1)e^-y = integral t,e^2t,dt + C = t,e^2t2 - e^2t4 + C

Passo 5

Impondo y(0)=0
(0+1)e^0 = 1 = l(0 - tfrac14r) + C Longrightarrow C = tfrac54
Portanto a solução implícita é
(y+1)e^-y = t,e^2t2 - e^2t4 + 54 = e^2t(2t-1)+54

Resposta

Uma forma implícita da solução é
(y+1)e^-y = e^2t(2t-1)+54
Em forma explícita, usando a função de Lambert W, obtém-se
y(t) = -1 ;-; W!l(-,e^2t(2t-1)+54er),
onde escolhemos o ramo principal de W para satisfazer y(0)=0.

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