Obtenha a solução das seguintes EDOs, representando-as graficamente e discutindo-as.
y^prime prime+2 y^prime+10 y=10[1-u(t-4)]-10 de

Passo 1

Começando, a equação é de 2ª ordem com amortecimento leve e forçantes descontinuas: temos
y'' + 2y' + 10y = 10l[1 - u(t-4)r] - 10,de
logo precisamos usar transformada de Laplace, L{u(t-a)} e L{δ(t-a)}, e inverter via frações parciais para achar y(t).

Passo 2

Aplicamos transformada de Laplace em ambos os lados. Pela propriedades,
Ly'' = s^2Y - scdot1 - 1,
L2y' = 2l(sY - 1r),
L10y = 10Y,
L10[1 - u(t-4)] = 10l(1s - e^-4ssr),
L-10,δ(t-5) = -10e^-5s
Somando tudo, obtemos
(s^2 + 2s + 10)Y - (s+3) = 10l(1s - e^-4ssr) - 10e^-5s

Passo 3

Isolamos Y(s) e separamos em quatro parcelas:
Y(s) = s+3s^2+2s+10 + 10s(s^2+2s+10) - 10e^-4ss(s^2+2s+10) - 10e^-5ss^2+2s+10
Cada termo será invertido separadamente.

Passo 4

Para o segundo termo fazemos frações parciais:
10s(s^2+2s+10) = 1s + -s-2s^2+2s+10
Reescrevendo s^2+2s+10=(s+1)^2+9 e -s-2=-(s+1)-1, invertemos:
L^-11/s = 1,
L^-1-(s+1)/[(s+1)^2+9] = -e^-tcos3t,
L^-1-1/[(s+1)^2+9] = -tfrac13e^-tsin3t

Passo 5

Agora fazemos as inversões de cada termo:
  1. L^-1[tfracs+3s^2+2s+10] = e^-tcos3t + tfrac23e^-tsin3t
  2. L^-1[10/(s(s^2+2s+10))] = 1 - e^-tcos3t - tfrac13 e^-tsin3t
  3. O mesmo do item 2, mas atrasado em 4s: multiplica por u(t-4) e troca tto t-4.
  4. L^-1[10e^-5s/(s^2+2s+10)] = tfrac103e^-(t-5)sin3(t-5),u(t-5)

Passo 6

Somando todos e simplificando termos semelhantes para t>0:
y(t)=1+tfrac13e^-tsin3t - l[1 - e^-(t-4)cos3(t-4) - tfrac13e^-(t-4)sin3(t-4)r]u(t-4) - tfrac103e^-(t-5)sin3(t-5),u(t-5)

Passo 7

Dessa forma temos um regime permanente y=1 antes de t=4, depois a força cai a zero (passo em t=4) gerando novos transientes atenuados, e em t=5 um impulso provoca salto na derivada, dando um pico de oscilação. O sistema é subamortecido e estável: as oscilações decaem exponencialmente em torno de 1.

Passo 8

O gráfico é uma senóide amortecida que parte de y(0)=1, faz pequenos decaimentos até t=4, sofre mudança na excitação e, em t=5, um pico brusco na derivada, seguindo depois o amortecimento em torno de 1.

Resposta

y(t)=1+13e^-tsin3t -l[1-e^-(t-4)cos3(t-4)-tfrac13e^-(t-4)sin3(t-4)r]u(t-4) -103e^-(t-5)sin3(t-5),u(t-5)
Esse traçado mostra regime permanente em y=1, salto na dinâmica em t=4 e impulso em t=5, com amortecimento subcrítico e retorno estável ao redor de 1.

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