Obtenha a solução das seguintes EDOs, representando-as graficamente e discutindo-as.
Passo 1
Começando, a equação é de 2ª ordem com amortecimento leve e forçantes descontinuas: temos
logo precisamos usar transformada de Laplace, L{u(t-a)} e L{δ(t-a)}, e inverter via frações parciais para achar y(t).
Passo 2
Aplicamos transformada de Laplace em ambos os lados. Pela propriedades,
Somando tudo, obtemos
Passo 3
Isolamos Y(s) e separamos em quatro parcelas:
Cada termo será invertido separadamente.
Passo 4
Para o segundo termo fazemos frações parciais:
Reescrevendo
e
, invertemos:
Passo 5
Agora fazemos as inversões de cada termo:
-
-
- O mesmo do item 2, mas atrasado em 4s: multiplica por
e troca . -
Passo 6
Somando todos e simplificando termos semelhantes para t>0:
Passo 7
Dessa forma temos um regime permanente
antes de t=4, depois a força cai a zero (passo em t=4) gerando novos transientes atenuados, e em t=5 um impulso provoca salto na derivada, dando um pico de oscilação. O sistema é subamortecido e estável: as oscilações decaem exponencialmente em torno de 1.
Passo 8
O gráfico é uma senóide amortecida que parte de y(0)=1, faz pequenos decaimentos até t=4, sofre mudança na excitação e, em t=5, um pico brusco na derivada, seguindo depois o amortecimento em torno de 1.
Resposta
Esse traçado mostra regime permanente em y=1, salto na dinâmica em t=4 e impulso em t=5, com amortecimento subcrítico e retorno estável ao redor de 1.