Calcule os seguintes limites, utilizando a regra de L’Hospital:
lim x 0[e^x-1x+cos x-1x]

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto0[e^x-1x+cos x-1x]. O conteúdo aqui é cálculo de limites e vamos usar a regra de L’Hospital, que permite diferenciar numerador e denominador em limites do tipo 00.

Passo 2

Reunimos as duas parcelas numa só fração:
e^x-1x+cos x-1x=e^x-1+cos x-1x=e^x+cos x-2x
Ao substituir x=0, o numerador vira e^0+cos0-2=1+1-2=0 e o denominador é também zero, caracterizando a forma indeterminada 00.

Passo 3

Como temos indeterminação 00, aplicamos a regra de L’Hospital: derivamos numerador e denominador em relação a x. O numerador e^x+cos x-2
ddx(e^x+cos x-2)=e^x-sin x,
e o denominador x
ddx(x)=1

Passo 4

O limite original então se torna
limxto0e^x-sin x1
Agora basta substituir x=0, resultando em e^0-sin0=1-0=1.

Resposta

1

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