Demonstrar as seguintes afirmações:
Se
e
são fechados então
e
são fechados.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um espaço topológico qualquer, se dois conjuntos
e
são fechados então tanto a união
quanto a interseção
também são fechados. O conteúdo aqui é teoria de conjuntos em topologia, usando a definição de conjunto fechado como complementar de um conjunto aberto e as Leis de De Morgan.
Passo 2
Na topologia, dizemos que um conjunto
é fechado se e somente se seu complementar
for aberto, onde
é o espaço ambiente. Como
e
são fechados, sabemos que
e
são abertos. Para provar que
é fechado, basta mostrar que seu complementar é aberto. Usando as Leis de De Morgan, temos:
Como interseção de abertos é aberta, o conjunto acima é aberto. Logo,
é fechado.
Passo 3
Agora para
, fazemos raciocínio análogo. O complementar de uma interseção é a união dos complementares, isto é:
Como união de abertos é aberta, concluímos que
é fechado.
Resposta
Portanto, se
e
são fechados então
e
também são fechados.