Demonstrar as seguintes afirmações:
Se A e B são fechados então A cup B e A cap B são fechados.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um espaço topológico qualquer, se dois conjuntos A e B são fechados então tanto a união Acup B quanto a interseção Acap B também são fechados. O conteúdo aqui é teoria de conjuntos em topologia, usando a definição de conjunto fechado como complementar de um conjunto aberto e as Leis de De Morgan.

Passo 2

Na topologia, dizemos que um conjunto C é fechado se e somente se seu complementar Xsetminus C for aberto, onde X é o espaço ambiente. Como A e B são fechados, sabemos que Xsetminus A e Xsetminus B são abertos. Para provar que Acup B é fechado, basta mostrar que seu complementar é aberto. Usando as Leis de De Morgan, temos:
Xsetminus (Acup B)= (Xsetminus A)cap (Xsetminus B)
Como interseção de abertos é aberta, o conjunto acima é aberto. Logo, Acup B é fechado.

Passo 3

Agora para Acap B, fazemos raciocínio análogo. O complementar de uma interseção é a união dos complementares, isto é:
Xsetminus (Acap B)= (Xsetminus A)cup (Xsetminus B)
Como união de abertos é aberta, concluímos que Acap B é fechado.

Resposta

Portanto, se A e B são fechados então Acup B e Acap B também são fechados.

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