Mostre como encontrar a derivada f^prime(x) das funções abaixo
f(x)=x sen(x)

Passo 1

Nesse exercício temos a função f(x)=x,sen(x), e o objetivo é achar a derivada f'(x). O conteúdo principal aqui é a derivada do produto de duas funções, e vamos usar a regra do produto, além das derivadas básicas de polinômios e de sen(x).

Passo 2

Para derivar o produto de duas funções u(x) e v(x), usamos a regra do produto. Em forma de fórmula:
l[u(x),v(x)r]' = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
Isso significa que derivamos uma função por vez, mantendo a outra sem derivar, e somamos os resultados.

Passo 3

No nosso caso, identificamos
u(x)=x e v(x)=sen(x).
Calculando as derivadas isoladas:
  • u'(x)=1, pois a derivada de x é 1.
  • v'(x)=cos(x), pois a derivada de sen(x) é cos(x).

Passo 4

Agora substituímos esses resultados na regra do produto:
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
ou seja
f'(x) = 1 cdot sen(x) + x cdot cos(x)
Por fim, simplificamos para obter a forma final da derivada.

Resposta

f'(x)=sen(x) + x,cos(x)

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