Calcule integralC F(r) cdot d r para os seguintes dados. Se F é a força, esssa integral fornecerá o trabalho realizado no deslocamento ao longo de C. Esboce C.
(0,0,0), senh é o segmento retilíneo de a .

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular o trabalho integralCvec Fcdot dvec r de um campo vetorial vec F(x,y,z) = (cosh x,sinh y,e^z) ao longo de C, o segmento retilíneo de (0,0,0) a (tfrac12,tfrac14,tfrac18). O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial, e vamos usar parametrização de curvas.

Passo 2

Parametrizamos C por
r(t) = l(tfrac t2,tfrac t4,tfrac t8r), 0<= t<=1
Dessa forma
r'(t) = l(tfrac12,tfrac14,tfrac18r)
Essa parametrização mostra que C é um segmento de reta no primeiro octante ligando (0,0,0) a (tfrac12,tfrac14,tfrac18).

Passo 3

Substituímos na definição de integral de linha: primeiro calculamos
vec Fl(r(t)r) = l(cosh(tfrac t2),sinh(tfrac t4),e^t/8r)
e depois o produto escalar
vec F(r(t))cdot r'(t) = tfrac12coshl(tfrac t2r) + tfrac14sinhl(tfrac t4r) + tfrac18 e^t/8

Passo 4

Agora fazemos a integral de t=0 a t=1 termo a termo:
Para o primeiro termo:
integral0^1 tfrac12coshl(tfrac t2r),dt = sinhl(tfrac t2r)|0^1 = sinhl(tfrac12r)
Para o segundo termo:
integral0^1 tfrac14sinhl(tfrac t4r),dt = coshl(tfrac t4r)|0^1 - 1 = coshl(tfrac14r) - 1
Para o terceiro termo:
integral0^1 tfrac18 e^t/8,dt = e^t/8|0^1 - 1 = e^1/8 - 1

Passo 5

Somando os resultados parciais, o trabalho fica
sinhl(tfrac12r) + l(coshl(tfrac14r)-1r) + l(e^1/8-1r) = sinhl(tfrac12r) + coshl(tfrac14r) + e^1/8 - 2

Resposta

sinhl(tfrac12r) + coshl(tfrac14r) + e^1/8 - 2

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