Calcule integralC F(r) cdot d r para os seguintes dados. Se F é a força, esssa integral fornecerá o trabalho realizado no deslocamento ao longo de C. Esboce C.
F=[x,-z, 2 y] vai diretamente de (0,0,0) a (1,1,0), então até (1,1,1), e depois de volta a (0,0,0).

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de linha integralCvec F(vec r)cdot dvec r, que corresponde ao trabalho realizado por vec F=[x,-z,2y] ao longo do caminho C. Vamos precisar de parametrizações para cada trecho de C, que vai de (0,0,0) a (1,1,0), depois a (1,1,1) e por fim volta a (0,0,0). O caminho forma um segmento no plano xy, um segmento vertical e um segmento diagonal de volta ao ponto inicial.

Passo 2

Parametrizamos o trecho C1 de (0,0,0) a (1,1,0) por r1(t)=(t,t,0), 0<= t<=1. Então dvec r1=(1,1,0),dt e
F em r1(t) é vec F(r1(t))=(t,0,2t). O produto escalar é
vec Fcdot dvec r1=(t,0,2t)cdot(1,1,0),dt = t,dt
Assim
integralC1vec Fcdot dvec r = integral0^1 t,dt = 12

Passo 3

Para o trecho C2 de (1,1,0) a (1,1,1), use r2(t)=(1,1,t), 0<= t<=1. Temos dvec r2=(0,0,1),dt e
vec F(r2(t))=(1,-t,2). Logo
vec Fcdot dvec r2 = (1,-t,2)cdot(0,0,1),dt = 2,dt
Então
integralC2vec Fcdot dvec r = integral0^1 2,dt = 2

Passo 4

No trecho C3 de (1,1,1) de volta a (0,0,0), parametrizamos por r3(t)=(1-t,1-t,1-t), 0<= t<=1. Assim dvec r3=(-1,-1,-1),dt e
vec F(r3(t))=(1-t,-(1-t),2(1-t))=(1-t,-1+t,2-2t). O produto escalar é
vec Fcdot dvec r3 = (1-t,-1+t,2-2t)cdot(-1,-1,-1),dt = (-2+2t),dt
Portanto
integralC3vec Fcdot dvec r = integral0^1 (-2+2t),dt = -1

Passo 5

Somando as contribuições de cada trecho do caminho,
W = 12 + 2 + (-1) = 32

Resposta

32

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