Obtenha a solução das seguintes EDOs, representando-as graficamente e discutindo-as.
y^prime prime+5 y=25 t-100 de

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem com forçamento misto: um termo determinístico 25 t e um impulso –100 δ(t–π), sujeita a y(0)=–2 e y′(0)=5. O conteúdo envolve solução geral de y′′+5y=fu(t) obtida somando-se a solução homogênea e uma particular, além de usar a condição de salto em y′ imposta pelo δ(t–π).

Passo 2

Para o termo 25 t, buscamos uma solução particular do tipo y_p(t)=a t+b. Substituindo em y′′+5y=25t, como y_p′′=0, obtemos 5(a t+b)=25 t ⇒ a=5 e b=0. Logo y_p=5t.

Passo 3

A solução geral da homogênea y_h′′+5y_h=0 é y_h(t)=A cos(√5 )+B Assim, para 0≤t<π,
y(t)=y_h+y_p= A cos(√5 )+B +5t.

Passo 4

Impondo y(0)=–2 e y′(0)=5: em t=0, y(0)=A=–2. Derivando y: y′=–A√5 +B√5 +5 ⇒ y′(0)=B√5+5=5 ⇒ B=0. Portanto, para t<π,
y_1(t)= –2 +5t.

Passo 5

No instante t=π há o termo –100 δ(t–π). Integrando a EDO em torno de t=π, a integral de y′′ dá salto em y′:
y(π^+)-y(π^-)=-100
Como y permanece contínua, definimos para t>π nova solução y_2(t)=A_2 +B_2 +5t e impomos as condições em t=π:
(i) continuidade: A_2 +B_2 +5π = y_1(π)= –2 +5π;
(ii) salto em y′: y_2′(π)=y_1′(π)–100, onde y_1′(π)=2√5 +5.

Passo 6

Resolvendo o sistema resulta
A_2= 100raiz5sin(raiz5,pi)-2 e B_2= - 100raiz5\cos(\sqrt5,\pi).

Passo 7

A solução completa e contínua é então
y(t)= -2cos(raiz5,t)+5t,&0<= t=pi
Graficamente, y(t) é a soma de um termo linear 5t com oscilações não amortecidas de frequência √5. Em t=π vemos um salto negativo na derivada y′ (cusp) devido ao impulso –100δ, que muda abruptamente a inclinação da curva mas não o valor de y. Após t=π, mantêm-se as oscilações em torno da reta 5t com nova fase e amplitude determinada por A_2 e B_2.

Resposta

y(t)=-2cos(raiz5,t)+5t,&0<= t=pi

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