Obtenha a solução das seguintes EDOs, representando-as graficamente e discutindo-as.
y^prime prime+2 y^prime+2 y=e^-t+5 de

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de 2ª ordem com amortecimento e forçamento composto por um termo suave e um pulso em t=2:
y''+2y'+2y=e^-t+5,de
O conteúdo envolvido é solução de EDOs lineares usando superposição (solução homogênea + particular) e resposta ao impulso.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução homogênea associada à equação sem forçamento:
y''+2y'+2y=0
A equação característica é lambda^2+2lambda+2=0, cujas raízes são lambda=-1pm i. Logo,
yh(t)=e^-tl(Acos t+Bsin tr)

Passo 3

Agora buscamos a solução particular para o termo suave e^-t. Fazemos o palpite yp=a e^-t. Substituindo,
a e^-t+2(-a e^-t)+2(a e^-t)=a e^-t=e^-t
de onde a=1. Assim,
yp1(t)=e^-t

Passo 4

Para o pulso 5,de usamos a resposta ao impulso do sistema. A transformada de Laplace do operador é 1/(s^2+2s+2), e sua antitransformada é
h(t)=e^-tsin t,u(t)
Pelo deslocamento no tempo, a contribuição do pulso em t=2 é
yp2(t)=5,h(t-2)=5,e^-(t-2)sin(t-2),u(t-2)

Passo 5

Antes de incluir o pulso (para 0<= t<2), a solução é yh+yp1. Impomos as condições iniciais em t=0:
y(0)=A+1=0implies A=-1, y'(0)=(-A+B)-1=1implies B=1

Passo 6

Reunindo tudo, a solução completa fica
y(t)=e^-t(-cos t+sin t)+e^-t+5,e^-(t-2)sin(t-2),u(t-2)
Podemos agrupar os dois primeiros termos:
y(t)=e^-tl(1-cos t+sin tr)+5,e^-(t-2)sin(t-2),u(t-2)

Passo 7

Graficamente, para 0<= t<2 temos uma oscilação amortecida que parte de zero, atinge um pico e decai. Em t=2 ocorre um salto extra fornecido pelo pulso, seguido de outra oscilação amortecida iniciada em t=2. Como as raízes têm parte real negativa, todas as oscilações decaem e o sistema é estável.

Resposta

y(t)=e^-tl(1-cos t+sin tr)+5,e^-(t-2)sin(t-2),u(t-2).

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