Obtenha a solução das seguintes EDOs, representando-as graficamente e discutindo-as.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de 2ª ordem com amortecimento e forçamento composto por um termo suave e um pulso em
:
O conteúdo envolvido é solução de EDOs lineares usando superposição (solução homogênea + particular) e resposta ao impulso.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução homogênea associada à equação sem forçamento:
A equação característica é
, cujas raízes são
. Logo,
Passo 3
Agora buscamos a solução particular para o termo suave
. Fazemos o palpite
. Substituindo,
de onde
. Assim,
Passo 4
Para o pulso
usamos a resposta ao impulso do sistema. A transformada de Laplace do operador é
, e sua antitransformada é
Pelo deslocamento no tempo, a contribuição do pulso em
é
Passo 5
Antes de incluir o pulso (para
), a solução é
. Impomos as condições iniciais em
:
Passo 6
Reunindo tudo, a solução completa fica
Podemos agrupar os dois primeiros termos:
Passo 7
Graficamente, para
temos uma oscilação amortecida que parte de zero, atinge um pico e decai. Em
ocorre um salto extra fornecido pelo pulso, seguido de outra oscilação amortecida iniciada em
. Como as raízes têm parte real negativa, todas as oscilações decaem e o sistema é estável.