(1,0 ponto) Mostre, utilizando a definição de derivadas, que: se
então
.
Passo 1
O problema pede para mostrar que, usando a definição de derivada, se
então
. O conteúdo é derivada pelo primeiro princípio, e vamos precisar usar o limite de diferença e a técnica de racionalização de radicais.
Passo 2
A definição de derivada pelo primeiro princípio diz que
. Substituindo
temos o limite:
Passo 3
Para eliminar os radicais do numerador, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado
, obtendo:
Passo 4
Simplificando o numerador
e cancelando
no numerador e denominador, ficamos com
Agora basta calcular o limite quando
.
Passo 5
Ao fazer
dentro do denominador, temos
, logo
Resposta
Usando a definição de derivada,
.