(1,0 ponto) Mostre, utilizando a definição de derivadas, que: se y=raizx então d yd x=12 raizx.

Passo 1

O problema pede para mostrar que, usando a definição de derivada, se y=raizx então dydx=12raizx. O conteúdo é derivada pelo primeiro princípio, e vamos precisar usar o limite de diferença e a técnica de racionalização de radicais.

Passo 2

A definição de derivada pelo primeiro princípio diz que dydx=limhto0f(x+h)-f(x)h. Substituindo f(x)=raizx temos o limite:
dydx=limhto0raizx+h-raizxh

Passo 3

Para eliminar os radicais do numerador, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado raizx+h+raizx, obtendo:
raizx+h-raizxhcdotraizx+h+raizxraizx+h+raizx=(x+h)-xh,(raizx+h+raizx)

Passo 4

Simplificando o numerador (x+h)-x=h e cancelando h no numerador e denominador, ficamos com
1raizx+h+raizx
Agora basta calcular o limite quando hto0.

Passo 5

Ao fazer hto0 dentro do denominador, temos raizx+0=raizx, logo
limhto01raizx+h+raizx=12raizx

Resposta

Usando a definição de derivada, dydx=12raizx.

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