Obtenha a solução das seguintes equações diferenciais ordinárias utilizando o método de série de potênciais.
\left(x^{2}+1 y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-y=0);

Passo 1

Enunciado claro e dados que temos: a equação diferencial dada é
\left(x^{2}+1\right) y'' + x y' - y = 0.
O que se pede: obter a(s) solução(ões) usando o método de séries de potências (isto é, desenvolver soluções em torno de x=0 como séries em potências de x e encontrar a forma geral). Informação importante que já podemos anotar do enunciado: os coeficientes \,x^{2}+1 e x são analíticos em x=0, logo x=0 é um ponto regular e é natural tentar uma série centrada em 0. Nada mais do enunciado é necessário.

Passo 2

Hipótese padrão do método de séries de potências: supor que a solução pode ser escrita como série em potências de x centrada em 0. Ou seja, assumimos
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n},
onde os a_{n} são constantes a determinar. Agora vamos calcular também as derivadas necessárias, termo a termo (é permitido porque a série é formal e os coeficientes são bem comportados perto de 0):
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{\,n-1},
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{\,n-2}.

Passo 3

Substituir as séries na equação original. A equação escrita como soma de termos é
y'' + x^{2} y'' + x y' - y = 0.
Agora cada termo em série:
y’’: escrevemos com índice começando em n=0 mudando n\mapsto n+2:
y''=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,x^{n}.
x^{2} y’’: mantemos no índice original mas depois iremos combinar potências:
x^{2}y''=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)\,a_{n}\,x^{n}.
x y’:
x y'=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n}.
  • y:
-y=-\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}.
Agora somamos todos os termos e agrupamos as potências x^{n}. Para n\ge 0 o coeficiente de x^{n} é a soma das contribuições de cada série:
(n+2)(n+1)\,a_{n+2} \;+\; \bigl[n(n-1)+n-1\bigr] a_{n}=0\quad\text{para todo }n\ge 0,
pois para n=0,1 os somatórios que começam em 2 ou 1 ajustam-se automaticamente (veja passo seguinte para os casos iniciais). Note que simplificamos n(n-1)+n-1 = n^2-1.

Passo 4

Da igualdade para os coeficientes de x^{n} obtemos a relação de recorrência entre os coeficientes:
(n+2)(n+1)\,a_{n+2} + (n^{2}-1)\,a_{n} = 0,
ou seja
a_{n+2} = -\frac{n^{2}-1}{(n+2)(n+1)}\,a_{n},\qquad n\ge 0.
Esta é a fórmula que nos permite obter a_{2},a_{3},\dots a partir de a_{0} e a_{1} (as constantes iniciais livres).

Passo 5

Calcular explicitamente os primeiros coeficientes para ver o padrão. Para n=0:
a_{2} = -\frac{0^{2}-1}{2\cdot1}\,a_{0} = \frac{1}{2}\,a_{0}.
Para n=1:
a_{3} = -\frac{1^{2}-1}{3\cdot2}\,a_{1} = 0.
Agora para n\ge 2 vale a recorrência geral. Observação prática: a relação liga a_{n+2} a a_{n}, então a sequência de coeficientes se divide em duas cadeias independentes: uma para os índices pares ( a_{0},a_{2},a_{4},\dots) e outra para os índices ímpares ( a_{1},a_{3},a_{5},\dots). Vamos analisar cada cadeia separadamente.

Passo 6

Cadeia dos termos ímpares: coloque n=2k+1 na recorrência. Isso dá
a_{2k+3} = -\frac{(2k+1)^{2}-1}{(2k+3)(2k+2)}\,a_{2k+1}.
Simplificando o numerador (2k+1)^{2}-1 = 4k(k+1) e cancelando fatores, obtemos
a_{2k+3} = -\frac{2k}{2k+3}\,a_{2k+1}.
Para k=0 temos a_{3}=0 (já obtido). A partir disso, pelo fator multiplicativo, vemos que a_{3}=0 implica a_{5}=0, a_{7}=0, etc. Ou seja, se a_{1} é dado, então a_{3}=0 e consequentemente todos os demais a_{2m+1} com m\ge1 são 0. Logo a cadeia ímpar produz apenas o termo de ordem 1: a_{1} x. Conclusão: uma solução pertencente ao espaço das ímpares é simplesmente y_{\text{odd}}(x)=a_{1} x.
Verificação rápida que é solução: se y=x então y'=1 e y''=0, e na equação temos (x^{2}+1)\cdot0 + x\cdot 1 - x = 0. Portanto y=x é de fato uma solução exata.

Passo 7

Cadeia dos termos pares: coloque n=2k na recorrência. Isso dá
a_{2k+2} = -\frac{(2k)^{2}-1}{(2k+2)(2k+1)}\,a_{2k}.
Note que (2k)^{2}-1=(2k-1)(2k+1). Cancelando o fator (2k+1) do numerador com o denominador obtém-se
a_{2k+2} = -\frac{2k-1}{2k+2}\,a_{2k}.
Definindo b_{k}=a_{2k} (os coeficientes dos termos x^{2k}), a recorrência fica
b_{k+1} = -\frac{2k-1}{2k+2}\,b_{k}.
Vamos encontrar uma expressão fechada para b_{k} e reconhecer a série resultante. Observe que a recorrência pode ser reescrita como
b_{k+1} = \frac{\tfrac{1}{2}-k}{k+1}\,b_{k},
porque
\frac{\tfrac{1}{2}-k}{k+1} = \frac{1-2k}{2k+2} = -\frac{2k-1}{2k+2}.
Isto é exatamente a relação de recorrência para os coeficientes da expansão binomial da potência \left(1+z\right)^{1/2}, cujos coeficientes são \binom{1/2}{k} que satisfazem
\binom{1/2}{k+1} = \frac{\tfrac{1}{2}-k}{k+1}\,\binom{1/2}{k}.
Como b_{0}=a_{0} corresponde a \binom{1/2}{0}=1 multiplicado por a_{0}, concluímos que
b_{k}=a_{2k}=a_{0}\,\binom{1/2}{k}.

Passo 8

Agora escrevemos a soma correspondente aos termos pares. Para a_{0} normalizado (por exemplo a_{0}=1) a série dos termos pares é
\sum_{k=0}^{\infty} \binom{1/2}{k}\, x^{2k} = (1+x^{2})^{1/2},
pela fórmula da expansão binomial de expoente \tfrac{1}{2}. Portanto, a cadeia par gera a função
y_{\text{even}}(x)=a_{0}\,(1+x^{2})^{1/2}.
Já verificamos a série calculando os primeiros coeficientes: 1,\; \tfrac{1}{2},\; -\tfrac{1}{8},\; \tfrac{1}{16},\dots que coincidem com os coeficientes de \sqrt{1+x^{2}}.

Passo 9

Como as duas cadeias (par e ímpar) são independentes e correspondem a soluções linearmente independentes, a solução geral da equação diferencial, obtida pela combinação linear das duas soluções independentes, é
y(x) = C_{1}\, (1+x^{2})^{1/2} \;+\; C_{2}\, x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (relacionadas a a_{0} e a_{1}, respectivamente). Podemos checar rapidamente que (1+x^{2})^{1/2} é solução substituindo suas derivadas na equação (feito no passo de verificação da redução de ordem), e já verificamos que x é solução.

Resposta

y(x)=C_{1}\sqrt{1+x^{2}}+C_{2}x

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