Obtenha a solução das seguintes equações diferenciais ordinárias utilizando o método de série de potênciais.
y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-y=0);
y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-y=0);
Passo 1
Enunciado claro e dados que temos: a equação diferencial dada é
O que se pede: obter a(s) solução(ões) usando o método de séries de potências (isto é, desenvolver soluções em torno de
como séries em potências de
e encontrar a forma geral). Informação importante que já podemos anotar do enunciado: os coeficientes
e
são analíticos em
, logo
é um ponto regular e é natural tentar uma série centrada em
. Nada mais do enunciado é necessário.
Passo 2
Hipótese padrão do método de séries de potências: supor que a solução pode ser escrita como série em potências de
centrada em
. Ou seja, assumimos
onde os
são constantes a determinar. Agora vamos calcular também as derivadas necessárias, termo a termo (é permitido porque a série é formal e os coeficientes são bem comportados perto de
):
Passo 3
Substituir as séries na equação original. A equação escrita como soma de termos é
Agora cada termo em série:
y’’: escrevemos com índice começando em
mudando
:
x^{2} y’’: mantemos no índice original mas depois iremos combinar potências:
x y’:
- y:
Agora somamos todos os termos e agrupamos as potências
. Para
o coeficiente de
é a soma das contribuições de cada série:
pois para
os somatórios que começam em
ou
ajustam-se automaticamente (veja passo seguinte para os casos iniciais). Note que simplificamos
.
Passo 4
Da igualdade para os coeficientes de
obtemos a relação de recorrência entre os coeficientes:
ou seja
Esta é a fórmula que nos permite obter
a partir de
e
(as constantes iniciais livres).
Passo 5
Calcular explicitamente os primeiros coeficientes para ver o padrão. Para
:
Para
:
Agora para
vale a recorrência geral. Observação prática: a relação liga
a
, então a sequência de coeficientes se divide em duas cadeias independentes: uma para os índices pares (
) e outra para os índices ímpares (
). Vamos analisar cada cadeia separadamente.
Passo 6
Cadeia dos termos ímpares: coloque
na recorrência. Isso dá
Simplificando o numerador
e cancelando fatores, obtemos
Para
temos
(já obtido). A partir disso, pelo fator multiplicativo, vemos que
implica
,
, etc. Ou seja, se
é dado, então
e consequentemente todos os demais
com
são
. Logo a cadeia ímpar produz apenas o termo de ordem
:
. Conclusão: uma solução pertencente ao espaço das ímpares é simplesmente
.
Verificação rápida que é solução: se
então
e
, e na equação temos
. Portanto
é de fato uma solução exata.
Passo 7
Cadeia dos termos pares: coloque
na recorrência. Isso dá
Note que
. Cancelando o fator
do numerador com o denominador obtém-se
Definindo
(os coeficientes dos termos
), a recorrência fica
Vamos encontrar uma expressão fechada para
e reconhecer a série resultante. Observe que a recorrência pode ser reescrita como
porque
Isto é exatamente a relação de recorrência para os coeficientes da expansão binomial da potência
, cujos coeficientes são
que satisfazem
Como
corresponde a
multiplicado por
, concluímos que
Passo 8
Agora escrevemos a soma correspondente aos termos pares. Para
normalizado (por exemplo
) a série dos termos pares é
pela fórmula da expansão binomial de expoente
. Portanto, a cadeia par gera a função
Já verificamos a série calculando os primeiros coeficientes:
que coincidem com os coeficientes de
.
Passo 9
Como as duas cadeias (par e ímpar) são independentes e correspondem a soluções linearmente independentes, a solução geral da equação diferencial, obtida pela combinação linear das duas soluções independentes, é
onde
e
são constantes arbitrárias (relacionadas a
e
, respectivamente). Podemos checar rapidamente que
é solução substituindo suas derivadas na equação (feito no passo de verificação da redução de ordem), e já verificamos que
é solução.