Obtenha a solução da equação diferencial ordinária
utilizando o método de séries de potências, ou seja,
. Observe que esta equação diferencial possui uma solução geral do tipo
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
usando uma série de potências da forma
Informações e objetivos fornecidos pelo enunciado:
- A equação diferencial é
- Devemos procurar uma solução
escrita como - O enunciado observa que a solução geral pode ser escrita também na forma
(observe que esses do enunciado são constantes arbitrárias; ao longo da resolução os iniciais serão os coeficientes da série em e ).
Nada mais é pedido além de obter a solução pela série de potências.
Passo 2
Vamos escrever a série proposta e suas derivadas termo a termo. Isso é permitido quando procuramos soluções analíticas (ou seja, que admitem série de potências) e é a técnica padrão: derivamos a série somando termo a termo.
Escrevemos
Derivando termo a termo temos
e derivando novamente
Explico o que significa cada símbolo:
é o coeficiente da potência
na série desconhecida; o somatório
indica que somamos todos os termos desde
até o infinito; nas derivadas os índices começam em valores maiores porque os primeiros termos desaparecem ao derivar.
Passo 3
Substituímos
e
na equação
.
Primeiro vamos reescrever
com potências da mesma ordem que em
. Na expressão
fazemos a mudança de índice
(ou seja, tomamos
no lugar de
) para obter uma soma em potências
:
A série de
já está em potências
:
Agora substituímos na equação:
Juntando num único somatório:
Para que essa série seja identicamente zero (para todo
na vizinhança de
), cada coeficiente de
deve ser zero. Assim obtemos a relação de recorrência entre coeficientes:
Isolando
:
Passo 4
Usamos a relação de recorrência para expressar todos os coeficientes em termos de
e
(os coeficientes iniciais da série). Observação importante: a recorrência liga
a
, portanto os termos de índice par dependem apenas de
e os de índice ímpar dependem apenas de
. Vamos calcular alguns termos para identificar o padrão.
Tomando
:
Tomando
:
Tomando
:
Padrão para os índices pares (escrevendo
,
): observando os denominadores encontramos que
Posso justificar rapidamente: ao aplicar a recorrência sucessivas vezes aparece no denominador o produto
e também um fator
vindo de multiplicações por
em cada passo; o sinal alterna a cada iteração, gerando o fator
.
Agora para os índices ímpares calculamos alguns termos:
Tomando :
Tomando
Tomando
:
Segue o padrão, escrevendo
:
Novamente o raciocínio: aplicação repetida da recorrência produz
no denominador e
pelo mesmo motivo, com sinal alternado
.
Passo 5
Agora reescrevemos a série separando termos pares e ímpares e substituímos as fórmulas que achamos para os coeficientes.
Escrevemos
Substituindo
e
:
Passo 6
Reconhecemos as somas como séries de Taylor conhecidas. Observe que
logo a primeira soma é
Para a segunda soma note que
pois
. Portanto
Assim a série total fica
Passo 7
Interpretação final e relação com a forma observada no enunciado. Se desejarmos escrever a solução com constantes arbitrárias
(forma usual da solução geral), basta definir
Com isso a solução toma a forma padrão
o que coincide com a observação do enunciado (apenas com letras constantes possivelmente renomeadas). Note também a relação com valores iniciais:
e
.