Obtenha soluções particulares das equações:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=x^{2} e^{2 x}.

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da equação diferencial linear de segunda ordem
y'' + 2y' + y = x^2 e^{2x}.
O conteúdo aqui é o método dos coeficientes a determinar, já que o termo não-homogêneo é da forma polinômio vezes exponencial.

Passo 2

Como o fatorial característico da parte homogênea é (r+1)^2, o expoente 2 não é raiz, então escolhemos o “chute”
y_p(x) = e^{2x}\bigl(Ax^2 + Bx + C\bigr),
onde A, B e C são constantes a determinar.

Passo 3

Calculemos as derivadas de y_p. Defina u(x)=Ax^2+Bx+C. Então
y_p = u\,e^{2x},\quad y_p' = (u' + 2u)e^{2x},\quad y_p'' = \bigl(u'' +4u' +4u\bigr)e^{2x}.

Passo 4

Substituindo em y''+2y'+y obtemos
y_p''+2y_p'+y_p = e^{2x}\bigl[u''+4u'+4u +2(u'+2u)+u\bigr] = e^{2x}\bigl[u'' +6u' +9u\bigr].
Como u''=2A, u'=2Ax+B e u=Ax^2+Bx+C, isso vale
e^{2x}\bigl[9Ax^2 + (12A+9B)x + (2A+6B+9C)\bigr].

Passo 5

Igualando ao termo não-homogêneo x^2e^{2x} e comparando coeficientes em x^2,x^1,x^0, vem
9A = 1,\quad 12A +9B = 0,\quad 2A +6B+9C = 0,
cuja solução é
A = \tfrac19,\quad B = -\tfrac{4}{27},\quad C = \tfrac{2}{27}.

Resposta

Uma solução particular é
y_p(x) = e^{2x}\Bigl(\tfrac{1}{9}x^2 - \tfrac{4}{27}x + \tfrac{2}{27}\Bigr).

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