Obtenha soluções particulares das equações:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=2 x e^{-x}.

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular de
y'' + 2y' + y = 2x e^{-x}.
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos:
  1. Encontrar a solução complementar y_c da homogênea associada.
  2. Escolher um ansatz de solução particular y_p pelo método dos coeficientes a determinar.
  3. Ajustar os parâmetros para que y_p''+2y_p'+y_p=2x e^{-x}.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + 2y' + y = 0,
cuja equação característica é
r^2 + 2r + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (r+1)^2 = 0.
Logo r=-1 é raiz dupla e
y_c = \big(C_1 + C_2 x\big)e^{-x}.

Passo 3

O termo não-homogêneo é 2x e^{-x}. Como e^{-x} já aparece na solução da homogênea com multiplicidade 2, multiplicamos o ansatz por x^2. Além disso, como 2x é polinomial de grau 1, tomamos
y_p = x^2(Ax + B)\,e^{-x}.
Aqui A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Defina u(x)=x^2(Ax+B). Então
u(x)=A x^3 + B x^2,\quad u'(x)=3A x^2 + 2B x.
Como y_p = u\,e^{-x}, temos
y_p' = u'\,e^{-x} - u\,e^{-x}, \quad y_p'' = u''\,e^{-x} - 2u'\,e^{-x} + u\,e^{-x}.
Calculando e agrupando em polinômios vezes e^{-x}, chega-se a
y_p'' + 2y_p' + y_p = \bigl(6A\,x + 2B\bigr)e^{-x}.

Passo 5

Queremos
y_p'' + 2y_p' + y_p = 2x\,e^{-x},
logo igualamos coeficientes em 6A\,x + 2B = 2x. Daí
6A = 2 \,\Rightarrow\, A = \tfrac13, \qquad 2B = 0 \,\Rightarrow\, B = 0.
Portanto
y_p = x^2\bigl(\tfrac13x + 0\bigr)e^{-x} = \tfrac{1}{3}x^3 e^{-x}.

Resposta

Uma solução particular é
y_p(x) = \tfrac{1}{3}x^3 e^{-x}.
E a solução geral da EDO é
y(x) = \bigl(C_1 + C_2 x + \tfrac{1}{3}x^3\bigr)e^{-x}.

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