Obtenha soluções particulares das equações:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+4 y=3 \cos (2 x).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + 4y = 3\cos(2x)
e pede que a gente encontre uma solução particular. O conteúdo aqui é o método dos coeficientes a determinar, em que escolhemos um palpite com a mesma forma da parte não homogênea.

Passo 2

Como o termo forçante é 3\cos(2x), usamos o palpite
y_p(x) = A\cos(2x) + B\sin(2x)
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p' = -2A\sin(2x) + 2B\cos(2x),
y_p'' = -4A\cos(2x) - 4B\sin(2x).
Substituindo na equação:
y_p'' + 2y_p' + 4y_p = \bigl(-4A\cos2x -4B\sin2x\bigr) +2\bigl(-2A\sin2x +2B\cos2x\bigr) +4\bigl(A\cos2x + B\sin2x\bigr).

Passo 4

Agrupando os termos em \cos(2x) e \sin(2x):
\bigl(-4A +4B +4A\bigr)\cos2x \;+\;\bigl(-4B -4A +4B\bigr)\sin2x =4B\cos2x -4A\sin2x.
Isso deve igualar 3\cos2x + 0\sin2x. Logo,
4B = 3,\quad -4A = 0
B = \tfrac{3}{4},\quad A = 0.

Resposta

A solução particular é
y_p(x) = \frac{3}{4}\,\sin(2x).

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