Obtenha soluções particulares das equações:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}=2 x+1.

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular para a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' = 2x + 1.
O método mais direto aqui é o dos coeficientes a determinar, pois o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1.

Passo 2

Antes de escolher o ansatz para a parte particular, vemos a solução geral da homogênea associada
y'' + y' = 0.
A equação característica é r^2 + r = 0, ou seja r(r+1)=0, com raízes r=0 e r=-1. Logo
y_h = C_1 + C_2 e^{-x}.
Observe que há um termo constante em y_h, o que influencia nossa escolha para y_p.

Passo 3

Como o lado direito é 2x+1, um polinômio de grau 1, normalmente tomaríamos
y_p = Ax + B.
Porém, B já aparece em y_h. Para evitar conflito, multiplicamos o palpite por x e escolhemos
y_p = Ax^2 + Bx.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p' = 2Ax + B, \quad y_p'' = 2A.
Substituindo na equação:
y_p'' + y_p' = 2A + (2Ax + B) = 2Ax + (2A + B)
que deve ser igual a 2x + 1. Igualando coeficientes:
2A = 2 \implies A = 1,
2A + B = 1 \implies 2\cdot1 + B = 1 \implies B = -1.

Passo 5

Com A=1 e B=-1, a solução particular fica
y_p = x^2 - x.

Resposta

y_p(x) = x^2 - x.

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