Seja
e considere a transformação
Se
, escreva as partes real
e imaginária
de
. Agora mostre que
transforma:
(a) o eixo-y no eixo-
, mantendo sua orientação;
(b) as retas verticais
, com
no ramo direito da hipérbole
com focos em
;
© a reta
na semireta dada por
com
.
(d) Agora, como
, conclua que as retas verticais
, com
são levadas no ramo esquerdo da hipérbole acima e na semi reta
com
. Desenhe.
(e) Mostre que
transforma a reta horizontal
na curva
que, no caso em que
, é a elipse
(f) Mostre que a imagem do segmento de reta
é o lado direito da elipse, e do segmento de reta
é o lado esquerdo e que o eixo-
é levado nos pontos de eixo-
em que
. Desenhe.
(a) o eixo-y no eixo-
(b) as retas verticais
© a reta
(d) Agora, como
(e) Mostre que
Passo 1
O exercício pede para estudar a transformação complexa f(z)=sen(z), com z=x+jy, escrevendo suas partes real u(x,y) e imaginária v(x,y), e depois analisar como certas retas (verticais e horizontais) em z-plane são levadas em curvas (eixos, hipérboles, elipses) no w-plane.
Passo 2
A gente usa a fórmula conhecida do seno complexo:
Logo as partes real e imaginária são
$$
u(x,y)=\sin x,\cosh y, \quad v(x,y)=\cos x,\sinh y.$$
Passo 3
Para (a), colocamos x=0. Então
Isso é exatamente o eixo v (u=0) e, como
Passo 4
Para (b), fixamos x=c em (0,π/2). Temos
Dividindo,
Como
, vem
que é a hipérbole de focos em (±1,0). E
Passo 5
Para ©, x=π/2 dá
Isso é a semirreta real u≥1.
Passo 6
Para (d), como
, as retas x=c<0 geram os mesmos gráficos com u trocado por –u. Logo para c em [–π/2,0) obtemos o ramo esquerdo da hipérbole e a semirreta u≤–1.
Passo 7
Para (e), para y=c>0 (fixo)
Então
que é uma elipse de semi-eixos a=cosh c e b=sinh c.
Passo 8
Para (f), se x varia de 0 a π em y=c, então
e fazemos a metade direita da elipse (u≥0). Se x vai de π a 2π,
e damos a metade esquerda (u≤0). Em particular, se c=0 temos cosh0=1 e sinh0=0, assim y=0 é levado em u=sin x (v=0), ou seja, o segmento –1≤u≤1 no eixo real.
Resposta
As partes real e imaginária são
(a) O eixo-y (x=0) vai no eixo-v (u=0), mantendo orientação.
(b) A reta x=c (0<c<π/2) vai no ramo direito da hipérbole
com focos em (±1,0).
© x=π/2 vai na semirreta real u≥1.
(d) Para c∈[–π/2,0), as retas x=c vão no ramo esquerdo da mesma hipérbole e na semirreta u≤–1.
(e) A reta y=c não nula vai na elipse
© x=π/2 vai na semirreta real u≥1.
(d) Para c∈[–π/2,0), as retas x=c vão no ramo esquerdo da mesma hipérbole e na semirreta u≤–1.
(e) A reta y=c não nula vai na elipse
(f) Para 0≤x≤π, y=c dá o lado direito; para π≤x≤2π, o lado esquerdo; e y=0 vai no segmento –1≤u≤1 no eixo real.