Seja z=x+j y e considere a transformação
w=f(z)=sen(z)
Se w=u+j v, escreva as partes real u(x, y) e imaginária v(x, y) de f. Agora mostre que f transforma:
(a) o eixo-y no eixo- v, mantendo sua orientação;
(b) as retas verticais x=c, com c in(0, pi / 2) no ramo direito da hipérbole
u^2sen^2 c-v^2cos ^2 c=1
com focos em ( pm 1,0);
© a reta x=pi / 2 na semireta dada por (u, 0) com u >= 1.
(d) Agora, como sen(-z)=-sen(z), conclua que as retas verticais x=c, com c in[-pi / 2,0) são levadas no ramo esquerdo da hipérbole acima e na semi reta (u, 0) com u <=-1. Desenhe.
(e) Mostre que f transforma a reta horizontal y=c na curva
l u=sen x cosh c v=cos x senh c
que, no caso em que c neq 0, é a elipse
u^2cosh ^2 c+v^2senh^2 c=1
(f) Mostre que a imagem do segmento de reta 0 <= x <= pi ; y=c é o lado direito da elipse, e do segmento de reta pi <= x <= 2 pi ; y=c é o lado esquerdo e que o eixo- x é levado nos pontos de eixo- u em que -1 <= u <= 1. Desenhe.

Passo 1

O exercício pede para estudar a transformação complexa f(z)=sen(z), com z=x+jy, escrevendo suas partes real u(x,y) e imaginária v(x,y), e depois analisar como certas retas (verticais e horizontais) em z-plane são levadas em curvas (eixos, hipérboles, elipses) no w-plane.

Passo 2

A gente usa a fórmula conhecida do seno complexo:
sin(x+jy)=sin x,cosh y ; +; j,cos x,sinh y
Logo as partes real e imaginária são
$$
u(x,y)=\sin x,\cosh y, \quad v(x,y)=\cos x,\sinh y.$$

Passo 3

Para (a), colocamos x=0. Então
u(0,y)=sin0cosh y=0, v(0,y)=cos0sinh y=sinh y
Isso é exatamente o eixo v (u=0) e, como ymapstosinh y é crescente, a orientação do eixo-y passa inteira para o eixo-v.

Passo 4

Para (b), fixamos x=c em (0,π/2). Temos
u=sin ccosh y, v=cos csinh y
Dividindo,
usin c=cosh y,vcos c=sinh y
Como cosh^2y-sinh^2y=1, vem
u^2sin^2c-v^2cos^2c=1,
que é a hipérbole de focos em (±1,0). E sin c>0,cosh y>=1 implicam u>0, ou seja, o ramo direito.

Passo 5

Para ©, x=π/2 dá
u=sin(tfracpi2)cosh y=cosh y>=1, v=cos(tfracpi2)sinh y=0
Isso é a semirreta real u≥1.

Passo 6

Para (d), como sin(-z)=-sin z, as retas x=c<0 geram os mesmos gráficos com u trocado por –u. Logo para c em [–π/2,0) obtemos o ramo esquerdo da hipérbole e a semirreta u≤–1.

Passo 7

Para (e), para y=c>0 (fixo)
u=sin xcosh c, v=cos xsinh c
Então
u^2cosh^2c+v^2sinh^2c=sin^2x+cos^2x=1,
que é uma elipse de semi-eixos a=cosh c e b=sinh c.

Passo 8

Para (f), se x varia de 0 a π em y=c, então sin x>=0 e fazemos a metade direita da elipse (u≥0). Se x vai de π a 2π, sin x<=0 e damos a metade esquerda (u≤0). Em particular, se c=0 temos cosh0=1 e sinh0=0, assim y=0 é levado em u=sin x (v=0), ou seja, o segmento –1≤u≤1 no eixo real.

Resposta

As partes real e imaginária são
u(x,y)=sin xcosh y, v(x,y)=cos xsinh y
(a) O eixo-y (x=0) vai no eixo-v (u=0), mantendo orientação.
(b) A reta x=c (0<c<π/2) vai no ramo direito da hipérbole
u^2sin^2c-v^2cos^2c=1,
com focos em (±1,0).
© x=π/2 vai na semirreta real u≥1.
(d) Para c∈[–π/2,0), as retas x=c vão no ramo esquerdo da mesma hipérbole e na semirreta u≤–1.
(e) A reta y=c não nula vai na elipse
u^2cosh^2c+v^2sinh^2c=1
(f) Para 0≤x≤π, y=c dá o lado direito; para π≤x≤2π, o lado esquerdo; e y=0 vai no segmento –1≤u≤1 no eixo real.

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