Seja a interseção do cilindro com o semiplano com percorrida de modo que sua projeção no plano XY tenha sentido anti-horário. Seja o campo vetorial
Calcule

Passo 1

O enunciado define a curva C como a interseção do cilindro
x^2+y^2=4
com o semiplano da reta
y+z=0,;y>=0,
de modo que, projetada no plano xy, é o semicírculo superior de raio 2 percorrido no sentido anti-horário. Queremos calcular
integralCvec Fcdot dvec r
para
vec F(x,y,z)=l(2xy,;x^2+2yz,;y^2+3z^2r)

Passo 2

Verificamos que vec F é irrotacional, ou seja
nablatimes vec F =l(partialpartial y(y^2+3z^2)-partialpartial z(x^2+2yz),; partialpartial z(2xy)-partialpartial x(y^2+3z^2),; partialpartial x(x^2+2yz)-partialpartial y(2xy)r) =(0,0,0)
Logo vec F é campo conservativo.

Passo 3

Como vec F=nablaphi, achamos phi integrando:
phix=2xyimplies phi=x^2y+g(y,z)
De phiy=x^2+gyoverset!=x^2+2yz vem gy=2yz, logo
g(y,z)=y^2z+h(z)
e
phi=x^2y+y^2z+h(z)
De phiz=y^2+h'(z)overset!=y^2+3z^2 obtemos h'(z)=3z^2, isto é
h(z)=z^3,
podendo desprezar constante. Assim
phi(x,y,z)=x^2y+y^2z+z^3

Passo 4

A integral de linha entre os pontos finais de C é
integralCvec Fcdot dvec r =phil(,x( fim),y(fim),z(fim)r) -phil(,x(ini),y(ini),z(ini)r)
Os extremos de C são (-2,0,0) e (2,0,0). Em ambos
phi= x^2cdot0 +0^2cdot z+z^3=0.

Resposta

0

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