Obtenha a soma da série infinita dada, com precisão de três casas decimais.
sumn=1^+infty(-1)^n 1(2 n+1)^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série
sumn=1^infty(-1)^n1(2n+1)^3
com precisão de três casas decimais. O conteúdo envolvido é séries alternadas e a função beta de Dirichlet.

Passo 2

Definimos a função beta de Dirichlet de ordem s por
beta(s)=sumk=0^infty(-1)^k1(2k+1)^s
Note que, ao separar o termo k=0, temos
sumn=1^infty(-1)^n1(2n+1)^3 =sumk=0^infty(-1)^k1(2k+1)^3-1 =beta(3)-1

Passo 3

É conhecido (via expansão de séries de Fourier ou propriedades especiais) que
beta(3)=pi^332

Passo 4

Portanto a soma da série é
S=beta(3)-1=pi^332-1
Numericamente, usando pi^3approx31,00627668, obtemos
Sapprox31,0062766832-1approx0,96957115-1approx-0,03042885
Arredondando para três casas decimais, fica -0,030.

Resposta

-0,030

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